Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105801 / 52168
↖ ↑ ↗
← N 34.434098°
E110.591125°		 ← 251.91 m → N 34.434098°
E110.593872°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 34.431833°
E110.591125°		 ← 251.91 m →
63 443 m²		 N 34.431833°
E110.593872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807201385498047 y=0.398014068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807201385498047 × 217)
    floor (0.807201385498047 × 131072)
    floor (105801.5)     		tx = 105801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398014068603516 × 217)
    floor (0.398014068603516 × 131072)
    floor (52168.5)     		ty = 52168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105801 / 52168 ti = "17/105801/52168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105801/52168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105801 ÷ 217
    105801 ÷ 131072     		x = 0.807197570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52168 ÷ 217
    52168 ÷ 131072     		y = 0.39801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807197570800781 × 2 - 1) × π
    0.614395141601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.93017926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39801025390625 × 2 - 1) × π
    0.2039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.640820474120911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93017926} λ = 1.93017926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.640820474120911))-π/2
    2×atan(1.89803753129623)-π/2
    2×1.08589235498853-π/2
    2.17178470997706-1.57079632675     		φ = 0.60098838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93017926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.591125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60098838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.434098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105801 KachelY 52168 1.93017926 0.60098838 110.591125 34.434098
    Oben rechts KachelX + 1 105802 KachelY 52168 1.93022720 0.60098838 110.593872 34.434098
    Unten links KachelX 105801 KachelY + 1 52169 1.93017926 0.60094885 110.591125 34.431833
    Unten rechts KachelX + 1 105802 KachelY + 1 52169 1.93022720 0.60094885 110.593872 34.431833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60098838-0.60094885) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60098838-0.60094885) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93017926-1.93022720) × cos(0.60098838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824777130539594 × 6371000     		do = 251.908165429967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93017926-1.93022720) × cos(0.60094885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824799482447655 × 6371000     		du = 251.914992278027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60098838)-sin(0.60094885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824777130539594-0.824799482447655)×R²
    abs(1.93022720-1.93017926)×2.23519080613244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23519080613244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23519080613244e-05×40589641000000     		ar = 63442.830289088m²