Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10580 / 5588
↖ ↑ ↗
← N 81.553847°
W121.882324°		 ← 89.72 m → N 81.553847°
W121.876831°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
N 81.553040°
W121.882324°		 ← 89.73 m →
8 049 m²		 N 81.553040°
W121.876831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161445617675781 y=0.0852737426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161445617675781 × 216)
    floor (0.161445617675781 × 65536)
    floor (10580.5)     		tx = 10580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0852737426757812 × 216)
    floor (0.0852737426757812 × 65536)
    floor (5588.5)     		ty = 5588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10580 / 5588 ti = "16/10580/5588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10580/5588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10580 ÷ 216
    10580 ÷ 65536     		x = 0.16143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5588 ÷ 216
    5588 ÷ 65536     		y = 0.08526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.6771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12724786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08526611328125 × 2 - 1) × π
    0.8294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60584986334625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12724786} λ = -2.12724786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60584986334625))-π/2
    2×atan(13.5427298831305)-π/2
    2×1.49708973549376-π/2
    2.99417947098752-1.57079632675     		φ = 1.42338314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12724786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.882324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42338314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.553847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10580 KachelY 5588 -2.12724786 1.42338314 -121.882324 81.553847
    Oben rechts KachelX + 1 10581 KachelY 5588 -2.12715198 1.42338314 -121.876831 81.553847
    Unten links KachelX 10580 KachelY + 1 5589 -2.12724786 1.42336906 -121.882324 81.553040
    Unten rechts KachelX + 1 10581 KachelY + 1 5589 -2.12715198 1.42336906 -121.876831 81.553040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42338314-1.42336906) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dl = 89.7036800008819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42338314-1.42336906) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dr = 89.7036800008819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12724786--2.12715198) × cos(1.42338314) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.146879869254945 × 6371000     		do = 89.7217855169466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12724786--2.12715198) × cos(1.42336906) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.146893796533462 × 6371000     		du = 89.730293015641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42338314)-sin(1.42336906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146879869254945-0.146893796533462)×R²
    abs(-2.12715198--2.12724786)×1.39272785168454e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.39272785168454e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.39272785168454e-05×40589641000000     		ar = 8048.75591461371m²