Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1058 / 3099
↖ ↑ ↗
← N 40.078071°
W133.505860°		 ← 3 738.99 m → N 40.078071°
W133.461914°		 →
↑
3 739.90 m
↓
↑
3 739.90 m
↓
N 40.044437°
W133.505860°		 ← 3 740.83 m →
13 986 909 m²		 N 40.044437°
W133.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12921142578125 y=0.37835693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12921142578125 × 213)
    floor (0.12921142578125 × 8192)
    floor (1058.5)     		tx = 1058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37835693359375 × 213)
    floor (0.37835693359375 × 8192)
    floor (3099.5)     		ty = 3099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1058 / 3099 ti = "13/1058/3099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1058/3099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1058 ÷ 213
    1058 ÷ 8192     		x = 0.129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3099 ÷ 213
    3099 ÷ 8192     		y = 0.3782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.74169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33011682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    0.243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.764689422739136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33011682} λ = -2.33011682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764689422739136))-π/2
    2×atan(2.1483270495021)-π/2
    2×1.13514531551832-π/2
    2.27029063103664-1.57079632675     		φ = 0.69949430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33011682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.505860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69949430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.078071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1058 KachelY 3099 -2.33011682 0.69949430 -133.505860 40.078071
    Oben rechts KachelX + 1 1059 KachelY 3099 -2.32934983 0.69949430 -133.461914 40.078071
    Unten links KachelX 1058 KachelY + 1 3100 -2.33011682 0.69890728 -133.505860 40.044437
    Unten rechts KachelX + 1 1059 KachelY + 1 3100 -2.32934983 0.69890728 -133.461914 40.044437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69949430-0.69890728) × R
    0.000587019999999994 × 6371000     		dl = 3739.90441999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69949430-0.69890728) × R
    0.000587019999999994 × 6371000     		dr = 3739.90441999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33011682--2.32934983) × cos(0.69949430) × R
    0.000766990000000245 × 0.765167870357543 × 6371000     		do = 3738.98766422692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33011682--2.32934983) × cos(0.69890728) × R
    0.000766990000000245 × 0.765545680070707 × 6371000     		du = 3740.83382885519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69949430)-sin(0.69890728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765167870357543-0.765545680070707)×R²
    abs(-2.32934983--2.33011682)×0.000377809713164479×R²
    0.000766990000000245×0.000377809713164479×6371000²
    0.000766990000000245×0.000377809713164479×40589641000000     		ar = 13986909.1330436m²