Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105793 / 52159
↖ ↑ ↗
← N 34.454484°
E110.569153°		 ← 251.79 m → N 34.454484°
E110.571899°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 34.452219°
E110.569153°		 ← 251.80 m →
63 414 m²		 N 34.452219°
E110.571899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807140350341797 y=0.397945404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807140350341797 × 217)
    floor (0.807140350341797 × 131072)
    floor (105793.5)     		tx = 105793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397945404052734 × 217)
    floor (0.397945404052734 × 131072)
    floor (52159.5)     		ty = 52159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105793 / 52159 ti = "17/105793/52159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105793/52159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105793 ÷ 217
    105793 ÷ 131072     		x = 0.807136535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52159 ÷ 217
    52159 ÷ 131072     		y = 0.397941589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807136535644531 × 2 - 1) × π
    0.614273071289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.92979577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.397941589355469 × 2 - 1) × π
    0.204116821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.641251906217491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92979577} λ = 1.92979577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641251906217491))-π/2
    2×atan(1.89885658227749)-π/2
    2×1.08607025094737-π/2
    2.17214050189474-1.57079632675     		φ = 0.60134418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92979577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.569153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60134418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.454484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105793 KachelY 52159 1.92979577 0.60134418 110.569153 34.454484
    Oben rechts KachelX + 1 105794 KachelY 52159 1.92984370 0.60134418 110.571899 34.454484
    Unten links KachelX 105793 KachelY + 1 52160 1.92979577 0.60130465 110.569153 34.452219
    Unten rechts KachelX + 1 105794 KachelY + 1 52160 1.92984370 0.60130465 110.571899 34.452219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60134418-0.60130465) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60134418-0.60130465) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92979577-1.92984370) × cos(0.60134418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.824575888402064 × 6371000     		do = 251.794167171662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92979577-1.92984370) × cos(0.60130465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.824598251909172 × 6371000     		du = 251.80099613759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60134418)-sin(0.60130465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824575888402064-0.824598251909172)×R²
    abs(1.92984370-1.92979577)×2.23635071073813e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23635071073813e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23635071073813e-05×40589641000000     		ar = 63414.1205926196m²