Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105792 / 52161
↖ ↑ ↗
← N 34.449954°
E110.566406°		 ← 251.86 m → N 34.449954°
E110.569153°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 34.447689°
E110.566406°		 ← 251.87 m →
63 431 m²		 N 34.447689°
E110.569153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807132720947266 y=0.397960662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807132720947266 × 217)
    floor (0.807132720947266 × 131072)
    floor (105792.5)     		tx = 105792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397960662841797 × 217)
    floor (0.397960662841797 × 131072)
    floor (52161.5)     		ty = 52161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105792 / 52161 ti = "17/105792/52161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105792/52161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105792 ÷ 217
    105792 ÷ 131072     		x = 0.80712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52161 ÷ 217
    52161 ÷ 131072     		y = 0.397956848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80712890625 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92974783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.397956848144531 × 2 - 1) × π
    0.204086303710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.641156032418251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92974783} λ = 1.92974783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641156032418251))-π/2
    2×atan(1.89867454040939)-π/2
    2×1.08603072226366-π/2
    2.17206144452733-1.57079632675     		φ = 0.60126512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92974783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60126512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.449954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105792 KachelY 52161 1.92974783 0.60126512 110.566406 34.449954
    Oben rechts KachelX + 1 105793 KachelY 52161 1.92979577 0.60126512 110.569153 34.449954
    Unten links KachelX 105792 KachelY + 1 52162 1.92974783 0.60122559 110.566406 34.447689
    Unten rechts KachelX + 1 105793 KachelY + 1 52162 1.92979577 0.60122559 110.569153 34.447689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60126512-0.60122559) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60126512-0.60122559) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92974783-1.92979577) × cos(0.60126512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824620614127745 × 6371000     		do = 251.860361289056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92974783-1.92979577) × cos(0.60122559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824642975057748 × 6371000     		du = 251.867190892649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60126512)-sin(0.60122559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824620614127745-0.824642975057748)×R²
    abs(1.92979577-1.92974783)×2.23609300034067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23609300034067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23609300034067e-05×40589641000000     		ar = 63430.7913721217m²