Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105792 / 52160
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E110.566406°		 ← 251.85 m → N 34.452219°
E110.569153°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 34.449954°
E110.566406°		 ← 251.86 m →
63 429 m²		 N 34.449954°
E110.569153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807132720947266 y=0.397953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807132720947266 × 217)
    floor (0.807132720947266 × 131072)
    floor (105792.5)     		tx = 105792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397953033447266 × 217)
    floor (0.397953033447266 × 131072)
    floor (52160.5)     		ty = 52160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105792 / 52160 ti = "17/105792/52160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105792/52160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105792 ÷ 217
    105792 ÷ 131072     		x = 0.80712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52160 ÷ 217
    52160 ÷ 131072     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80712890625 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92974783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92974783} λ = 1.92974783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92974783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105792 KachelY 52160 1.92974783 0.60130465 110.566406 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 105793 KachelY 52160 1.92979577 0.60130465 110.569153 34.452219
    Unten links KachelX 105792 KachelY + 1 52161 1.92974783 0.60126512 110.566406 34.449954
    Unten rechts KachelX + 1 105793 KachelY + 1 52161 1.92979577 0.60126512 110.569153 34.449954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.60126512) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.60126512) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92974783-1.92979577) × cos(0.60130465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 251.8535312919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92974783-1.92979577) × cos(0.60126512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824620614127745 × 6371000     		du = 251.860361289056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.60126512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824620614127745)×R²
    abs(1.92979577-1.92974783)×2.2362218572991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2362218572991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2362218572991e-05×40589641000000     		ar = 63429.0713165465m²