Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105789 / 44313
↖ ↑ ↗
← N 50.245448°
E110.558166°		 ← 195.32 m → N 50.245448°
E110.560913°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.243692°
E110.558166°		 ← 195.33 m →
38 153 m²		 N 50.243692°
E110.560913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807109832763672 y=0.338085174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807109832763672 × 217)
    floor (0.807109832763672 × 131072)
    floor (105789.5)     		tx = 105789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338085174560547 × 217)
    floor (0.338085174560547 × 131072)
    floor (44313.5)     		ty = 44313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105789 / 44313 ti = "17/105789/44313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105789/44313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105789 ÷ 217
    105789 ÷ 131072     		x = 0.807106018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44313 ÷ 217
    44313 ÷ 131072     		y = 0.338081359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807106018066406 × 2 - 1) × π
    0.614212036132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.92960402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338081359863281 × 2 - 1) × π
    0.323837280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01736482063645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92960402} λ = 1.92960402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01736482063645))-π/2
    2×atan(2.76589651866725)-π/2
    2×1.22387241857189-π/2
    2.44774483714378-1.57079632675     		φ = 0.87694851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92960402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.558166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87694851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.245448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105789 KachelY 44313 1.92960402 0.87694851 110.558166 50.245448
    Oben rechts KachelX + 1 105790 KachelY 44313 1.92965196 0.87694851 110.560913 50.245448
    Unten links KachelX 105789 KachelY + 1 44314 1.92960402 0.87691785 110.558166 50.243692
    Unten rechts KachelX + 1 105790 KachelY + 1 44314 1.92965196 0.87691785 110.560913 50.243692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87694851-0.87691785) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87694851-0.87691785) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92960402-1.92965196) × cos(0.87694851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639500076086963 × 6371000     		do = 195.319783968789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92960402-1.92965196) × cos(0.87691785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63952364691946 × 6371000     		du = 195.326983107747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87694851)-sin(0.87691785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639500076086963-0.63952364691946)×R²
    abs(1.92965196-1.92960402)×2.3570832496933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3570832496933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3570832496933e-05×40589641000000     		ar = 38153.4657809758m²