Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105787 / 44309
↖ ↑ ↗
← N 50.252474°
E110.552674°		 ← 195.25 m → N 50.252474°
E110.555420°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.250717°
E110.552674°		 ← 195.26 m →
38 127 m²		 N 50.250717°
E110.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807094573974609 y=0.338054656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807094573974609 × 217)
    floor (0.807094573974609 × 131072)
    floor (105787.5)     		tx = 105787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338054656982422 × 217)
    floor (0.338054656982422 × 131072)
    floor (44309.5)     		ty = 44309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105787 / 44309 ti = "17/105787/44309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105787/44309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105787 ÷ 217
    105787 ÷ 131072     		x = 0.807090759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44309 ÷ 217
    44309 ÷ 131072     		y = 0.338050842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.807090759277344 × 2 - 1) × π
    0.614181518554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.92950815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338050842285156 × 2 - 1) × π
    0.323898315429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01755656823493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92950815} λ = 1.92950815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01755656823493))-π/2
    2×atan(2.76642692353266)-π/2
    2×1.22393372535477-π/2
    2.44786745070954-1.57079632675     		φ = 0.87707112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92950815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.552674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87707112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.252474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105787 KachelY 44309 1.92950815 0.87707112 110.552674 50.252474
    Oben rechts KachelX + 1 105788 KachelY 44309 1.92955608 0.87707112 110.555420 50.252474
    Unten links KachelX 105787 KachelY + 1 44310 1.92950815 0.87704047 110.552674 50.250717
    Unten rechts KachelX + 1 105788 KachelY + 1 44310 1.92955608 0.87704047 110.555420 50.250717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87707112-0.87704047) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87707112-0.87704047) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92950815-1.92955608) × cos(0.87707112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639405809811752 × 6371000     		do = 195.25025607803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92950815-1.92955608) × cos(0.87704047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		du = 195.257452101572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87707112)-sin(0.87704047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639405809811752-0.639429375359641)×R²
    abs(1.92955608-1.92950815)×2.35655478888486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35655478888486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35655478888486e-05×40589641000000     		ar = 38127.4446329853m²