Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10578 / 5587
↖ ↑ ↗
← N 81.554654°
W121.893311°		 ← 89.71 m → N 81.554654°
W121.887817°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
N 81.553847°
W121.893311°		 ← 89.72 m →
8 054 m²		 N 81.553847°
W121.887817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161415100097656 y=0.0852584838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161415100097656 × 216)
    floor (0.161415100097656 × 65536)
    floor (10578.5)     		tx = 10578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0852584838867188 × 216)
    floor (0.0852584838867188 × 65536)
    floor (5587.5)     		ty = 5587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10578 / 5587 ti = "16/10578/5587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10578/5587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10578 ÷ 216
    10578 ÷ 65536     		x = 0.161407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5587 ÷ 216
    5587 ÷ 65536     		y = 0.0852508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.67718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12743961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0852508544921875 × 2 - 1) × π
    0.829498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60594573714549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12743961} λ = -2.12743961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60594573714549))-π/2
    2×atan(13.5440283383394)-π/2
    2×1.49709677612526-π/2
    2.99419355225052-1.57079632675     		φ = 1.42339723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12743961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42339723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.554654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10578 KachelY 5587 -2.12743961 1.42339723 -121.893311 81.554654
    Oben rechts KachelX + 1 10579 KachelY 5587 -2.12734373 1.42339723 -121.887817 81.554654
    Unten links KachelX 10578 KachelY + 1 5588 -2.12743961 1.42338314 -121.893311 81.553847
    Unten rechts KachelX + 1 10579 KachelY + 1 5588 -2.12734373 1.42338314 -121.887817 81.553847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42339723-1.42338314) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dl = 89.7673899990801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42339723-1.42338314) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dr = 89.7673899990801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12743961--2.12734373) × cos(1.42339723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146865932055746 × 6371000     		do = 89.7132719577732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12743961--2.12734373) × cos(1.42338314) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146879869254945 × 6371000     		du = 89.721785516531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42339723)-sin(1.42338314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146865932055746-0.146879869254945)×R²
    abs(-2.12734373--2.12743961)×1.393719919901e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.393719919901e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.393719919901e-05×40589641000000     		ar = 8053.70839204381m²