Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105776 / 52144
↖ ↑ ↗
← N 34.488448°
E110.522461°		 ← 251.74 m → N 34.488448°
E110.525208°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
N 34.486184°
E110.522461°		 ← 251.75 m →
63 369 m²		 N 34.486184°
E110.525208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807010650634766 y=0.397830963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807010650634766 × 217)
    floor (0.807010650634766 × 131072)
    floor (105776.5)     		tx = 105776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397830963134766 × 217)
    floor (0.397830963134766 × 131072)
    floor (52144.5)     		ty = 52144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105776 / 52144 ti = "17/105776/52144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105776/52144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105776 ÷ 217
    105776 ÷ 131072     		x = 0.8070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52144 ÷ 217
    52144 ÷ 131072     		y = 0.3978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8070068359375 × 2 - 1) × π
    0.614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92898084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3978271484375 × 2 - 1) × π
    0.204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.641970959711792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92898084} λ = 1.92898084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641970959711792))-π/2
    2×atan(1.90022245274627)-π/2
    2×1.08636664772593-π/2
    2.17273329545186-1.57079632675     		φ = 0.60193697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92898084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60193697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.488448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105776 KachelY 52144 1.92898084 0.60193697 110.522461 34.488448
    Oben rechts KachelX + 1 105777 KachelY 52144 1.92902878 0.60193697 110.525208 34.488448
    Unten links KachelX 105776 KachelY + 1 52145 1.92898084 0.60189746 110.522461 34.486184
    Unten rechts KachelX + 1 105777 KachelY + 1 52145 1.92902878 0.60189746 110.525208 34.486184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60193697-0.60189746) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dl = 251.71821000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60193697-0.60189746) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dr = 251.71821000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92898084-1.92902878) × cos(0.60193697) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.824240371793507 × 6371000     		do = 251.744225493908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92898084-1.92902878) × cos(0.60189746) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.824262743295073 × 6371000     		du = 251.751058326329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60193697)-sin(0.60189746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824240371793507-0.824262743295073)×R²
    abs(1.92902878-1.92898084)×2.23715015666981e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.23715015666981e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.23715015666981e-05×40589641000000     		ar = 63369.4658017584m²