Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105765 / 96979
↖ ↑ ↗
← S 65.019986°
E110.492248°		 ← 128.98 m → S 65.019986°
E110.494995°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.021146°
E110.492248°		 ← 128.98 m →
16 632 m²		 S 65.021146°
E110.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806926727294922 y=0.739894866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806926727294922 × 217)
    floor (0.806926727294922 × 131072)
    floor (105765.5)     		tx = 105765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739894866943359 × 217)
    floor (0.739894866943359 × 131072)
    floor (96979.5)     		ty = 96979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105765 / 96979 ti = "17/105765/96979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105765/96979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105765 ÷ 217
    105765 ÷ 131072     		x = 0.806922912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96979 ÷ 217
    96979 ÷ 131072     		y = 0.739891052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806922912597656 × 2 - 1) × π
    0.613845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.92845353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739891052246094 × 2 - 1) × π
    -0.479782104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.50727993475343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92845353} λ = 1.92845353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50727993475343))-π/2
    2×atan(0.22151168548392)-π/2
    2×0.217991744365914-π/2
    0.435983488731828-1.57079632675     		φ = -1.13481284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92845353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.492248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13481284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.019986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105765 KachelY 96979 1.92845353 -1.13481284 110.492248 -65.019986
    Oben rechts KachelX + 1 105766 KachelY 96979 1.92850147 -1.13481284 110.494995 -65.019986
    Unten links KachelX 105765 KachelY + 1 96980 1.92845353 -1.13483308 110.492248 -65.021146
    Unten rechts KachelX + 1 105766 KachelY + 1 96980 1.92850147 -1.13483308 110.494995 -65.021146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13481284--1.13483308) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13481284--1.13483308) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92845353-1.92850147) × cos(-1.13481284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422302092130352 × 6371000     		do = 128.981928992376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92845353-1.92850147) × cos(-1.13483308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422283745391573 × 6371000     		du = 128.976325426108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13481284)-sin(-1.13483308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422302092130352-0.422283745391573)×R²
    abs(1.92850147-1.92845353)×1.83467387793179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83467387793179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83467387793179e-05×40589641000000     		ar = 16631.7346340849m²