Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105762 / 96990
↖ ↑ ↗
← S 65.032742°
E110.484009°		 ← 128.92 m → S 65.032742°
E110.486755°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.033901°
E110.484009°		 ← 128.91 m →
16 616 m²		 S 65.033901°
E110.486755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806903839111328 y=0.739978790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806903839111328 × 217)
    floor (0.806903839111328 × 131072)
    floor (105762.5)     		tx = 105762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739978790283203 × 217)
    floor (0.739978790283203 × 131072)
    floor (96990.5)     		ty = 96990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105762 / 96990 ti = "17/105762/96990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105762/96990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105762 ÷ 217
    105762 ÷ 131072     		x = 0.806900024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96990 ÷ 217
    96990 ÷ 131072     		y = 0.739974975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806900024414062 × 2 - 1) × π
    0.613800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92830972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739974975585938 × 2 - 1) × π
    -0.479949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50780724064925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92830972} λ = 1.92830972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50780724064925))-π/2
    2×atan(0.221394911856588)-π/2
    2×0.217880429780017-π/2
    0.435760859560033-1.57079632675     		φ = -1.13503547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92830972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.484009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13503547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.032742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105762 KachelY 96990 1.92830972 -1.13503547 110.484009 -65.032742
    Oben rechts KachelX + 1 105763 KachelY 96990 1.92835766 -1.13503547 110.486755 -65.032742
    Unten links KachelX 105762 KachelY + 1 96991 1.92830972 -1.13505570 110.484009 -65.033901
    Unten rechts KachelX + 1 105763 KachelY + 1 96991 1.92835766 -1.13505570 110.486755 -65.033901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13503547--1.13505570) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13503547--1.13505570) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92830972-1.92835766) × cos(-1.13503547) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		do = 128.920289627249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92830972-1.92835766) × cos(-1.13505570) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422081937980353 × 6371000     		du = 128.914688248796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13503547)-sin(-1.13505570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422100277555966-0.422081937980353)×R²
    abs(1.92835766-1.92830972)×1.83395756125915e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83395756125915e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83395756125915e-05×40589641000000     		ar = 16615.5731049702m²