Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105739 / 53005
↖ ↑ ↗
← N 32.516710°
E110.420838°		 ← 257.49 m → N 32.516710°
E110.423584°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
N 32.514394°
E110.420838°		 ← 257.50 m →
66 309 m²		 N 32.514394°
E110.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806728363037109 y=0.404399871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806728363037109 × 217)
    floor (0.806728363037109 × 131072)
    floor (105739.5)     		tx = 105739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404399871826172 × 217)
    floor (0.404399871826172 × 131072)
    floor (53005.5)     		ty = 53005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105739 / 53005 ti = "17/105739/53005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105739/53005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105739 ÷ 217
    105739 ÷ 131072     		x = 0.806724548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53005 ÷ 217
    53005 ÷ 131072     		y = 0.404396057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806724548339844 × 2 - 1) × π
    0.613449096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.92720718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404396057128906 × 2 - 1) × π
    0.191207885742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.600697289138924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92720718} λ = 1.92720718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600697289138924))-π/2
    2×atan(1.82338978711097)-π/2
    2×1.06915998948547-π/2
    2.13831997897095-1.57079632675     		φ = 0.56752365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92720718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.420838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56752365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.516710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105739 KachelY 53005 1.92720718 0.56752365 110.420838 32.516710
    Oben rechts KachelX + 1 105740 KachelY 53005 1.92725511 0.56752365 110.423584 32.516710
    Unten links KachelX 105739 KachelY + 1 53006 1.92720718 0.56748323 110.420838 32.514394
    Unten rechts KachelX + 1 105740 KachelY + 1 53006 1.92725511 0.56748323 110.423584 32.514394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56752365-0.56748323) × R
    4.0420000000041e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56752365-0.56748323) × R
    4.0420000000041e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92720718-1.92725511) × cos(0.56752365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.843234710223086 × 6371000     		do = 257.491862880341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92720718-1.92725511) × cos(0.56748323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.843256437125576 × 6371000     		du = 257.498497451391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56752365)-sin(0.56748323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843234710223086-0.843256437125576)×R²
    abs(1.92725511-1.92720718)×2.17269024902489e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17269024902489e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17269024902489e-05×40589641000000     		ar = 66309.0824756006m²