Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10573 / 6596
↖ ↑ ↗
← N 80.700447°
W121.920776°		 ← 98.70 m → N 80.700447°
W121.915283°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
N 80.699559°
W121.920776°		 ← 98.71 m →
9 741 m²		 N 80.699559°
W121.915283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161338806152344 y=0.100654602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161338806152344 × 216)
    floor (0.161338806152344 × 65536)
    floor (10573.5)     		tx = 10573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100654602050781 × 216)
    floor (0.100654602050781 × 65536)
    floor (6596.5)     		ty = 6596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10573 / 6596 ti = "16/10573/6596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10573/6596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10573 ÷ 216
    10573 ÷ 65536     		x = 0.161331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6596 ÷ 216
    6596 ÷ 65536     		y = 0.10064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.677337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12791897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10064697265625 × 2 - 1) × π
    0.7987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50920907371222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12791897} λ = -2.12791897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50920907371222))-π/2
    2×atan(12.2952016156048)-π/2
    2×1.48964241427419-π/2
    2.97928482854837-1.57079632675     		φ = 1.40848850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12791897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.920776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40848850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.700447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10573 KachelY 6596 -2.12791897 1.40848850 -121.920776 80.700447
    Oben rechts KachelX + 1 10574 KachelY 6596 -2.12782310 1.40848850 -121.915283 80.700447
    Unten links KachelX 10573 KachelY + 1 6597 -2.12791897 1.40847301 -121.920776 80.699559
    Unten rechts KachelX + 1 10574 KachelY + 1 6597 -2.12782310 1.40847301 -121.915283 80.699559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40848850-1.40847301) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40848850-1.40847301) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12791897--2.12782310) × cos(1.40848850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161596129899699 × 6371000     		do = 98.7009398220654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12791897--2.12782310) × cos(1.40847301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161611416294868 × 6371000     		du = 98.7102765652819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40848850)-sin(1.40847301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161596129899699-0.161611416294868)×R²
    abs(-2.12782310--2.12791897)×1.52863951687621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52863951687621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52863951687621e-05×40589641000000     		ar = 9740.93962783254m²