Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105719 / 44217
↖ ↑ ↗
← N 50.413769°
E110.365906°		 ← 194.59 m → N 50.413769°
E110.368652°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.412018°
E110.365906°		 ← 194.60 m →
37 874 m²		 N 50.412018°
E110.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806575775146484 y=0.337352752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806575775146484 × 217)
    floor (0.806575775146484 × 131072)
    floor (105719.5)     		tx = 105719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337352752685547 × 217)
    floor (0.337352752685547 × 131072)
    floor (44217.5)     		ty = 44217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105719 / 44217 ti = "17/105719/44217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105719/44217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105719 ÷ 217
    105719 ÷ 131072     		x = 0.806571960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44217 ÷ 217
    44217 ÷ 131072     		y = 0.337348937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806571960449219 × 2 - 1) × π
    0.613143920898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.92624844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337348937988281 × 2 - 1) × π
    0.325302124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02196676299998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92624844} λ = 1.92624844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02196676299998))-π/2
    2×atan(2.77865434791177)-π/2
    2×1.2253412877868-π/2
    2.4506825755736-1.57079632675     		φ = 0.87988625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92624844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.365906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87988625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.413769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105719 KachelY 44217 1.92624844 0.87988625 110.365906 50.413769
    Oben rechts KachelX + 1 105720 KachelY 44217 1.92629637 0.87988625 110.368652 50.413769
    Unten links KachelX 105719 KachelY + 1 44218 1.92624844 0.87985570 110.365906 50.412018
    Unten rechts KachelX + 1 105720 KachelY + 1 44218 1.92629637 0.87985570 110.368652 50.412018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87988625-0.87985570) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87988625-0.87985570) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92624844-1.92629637) × cos(0.87988625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637238811623797 × 6371000     		do = 194.588537112349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92624844-1.92629637) × cos(0.87985570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637262355184883 × 6371000     		du = 194.595726421956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87988625)-sin(0.87985570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637238811623797-0.637262355184883)×R²
    abs(1.92629637-1.92624844)×2.35435610860257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35435610860257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35435610860257e-05×40589641000000     		ar = 37874.2547068596m²