Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105712 / 97135
↖ ↑ ↗
← S 65.200316°
E110.346680°		 ← 128.11 m → S 65.200316°
E110.349426°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
S 65.201468°
E110.346680°		 ← 128.10 m →
16 413 m²		 S 65.201468°
E110.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806522369384766 y=0.741085052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806522369384766 × 217)
    floor (0.806522369384766 × 131072)
    floor (105712.5)     		tx = 105712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741085052490234 × 217)
    floor (0.741085052490234 × 131072)
    floor (97135.5)     		ty = 97135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105712 / 97135 ti = "17/105712/97135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105712/97135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105712 ÷ 217
    105712 ÷ 131072     		x = 0.8065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97135 ÷ 217
    97135 ÷ 131072     		y = 0.741081237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8065185546875 × 2 - 1) × π
    0.613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92591288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741081237792969 × 2 - 1) × π
    -0.482162475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51475809109415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92591288} λ = 1.92591288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51475809109415))-π/2
    2×atan(0.219861364837351)-π/2
    2×0.216418066140635-π/2
    0.43283613228127-1.57079632675     		φ = -1.13796019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92591288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13796019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.200316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105712 KachelY 97135 1.92591288 -1.13796019 110.346680 -65.200316
    Oben rechts KachelX + 1 105713 KachelY 97135 1.92596082 -1.13796019 110.349426 -65.200316
    Unten links KachelX 105712 KachelY + 1 97136 1.92591288 -1.13798030 110.346680 -65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 105713 KachelY + 1 97136 1.92596082 -1.13798030 110.349426 -65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13796019--1.13798030) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13796019--1.13798030) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92591288-1.92596082) × cos(-1.13796019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419447073596274 × 6371000     		do = 128.109932843892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92591288-1.92596082) × cos(-1.13798030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 128.104357133163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13796019)-sin(-1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419447073596274-0.419428818059824)×R²
    abs(1.92596082-1.92591288)×1.82555364492409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82555364492409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82555364492409e-05×40589641000000     		ar = 16413.1911830875m²