Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105705 / 97054
↖ ↑ ↗
← S 65.106836°
E110.327454°		 ← 128.56 m → S 65.106836°
E110.330200°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.107992°
E110.327454°		 ← 128.56 m →
16 520 m²		 S 65.107992°
E110.330200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806468963623047 y=0.740467071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806468963623047 × 217)
    floor (0.806468963623047 × 131072)
    floor (105705.5)     		tx = 105705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740467071533203 × 217)
    floor (0.740467071533203 × 131072)
    floor (97054.5)     		ty = 97054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105705 / 97054 ti = "17/105705/97054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105705/97054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105705 ÷ 217
    105705 ÷ 131072     		x = 0.806465148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97054 ÷ 217
    97054 ÷ 131072     		y = 0.740463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806465148925781 × 2 - 1) × π
    0.612930297851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.92557732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740463256835938 × 2 - 1) × π
    -0.480926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51087520222493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92557732} λ = 1.92557732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51087520222493))-π/2
    2×atan(0.220716721636677)-π/2
    2×0.217233835829541-π/2
    0.434467671659081-1.57079632675     		φ = -1.13632866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92557732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.327454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13632866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.106836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105705 KachelY 97054 1.92557732 -1.13632866 110.327454 -65.106836
    Oben rechts KachelX + 1 105706 KachelY 97054 1.92562526 -1.13632866 110.330200 -65.106836
    Unten links KachelX 105705 KachelY + 1 97055 1.92557732 -1.13634883 110.327454 -65.107992
    Unten rechts KachelX + 1 105706 KachelY + 1 97055 1.92562526 -1.13634883 110.330200 -65.107992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13632866--1.13634883) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13632866--1.13634883) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92557732-1.92562526) × cos(-1.13632866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420927584643867 × 6371000     		do = 128.562119026181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92557732-1.92562526) × cos(-1.13634883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420909288467333 × 6371000     		du = 128.556530902924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13632866)-sin(-1.13634883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420927584643867-0.420909288467333)×R²
    abs(1.92562526-1.92557732)×1.82961765339273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82961765339273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82961765339273e-05×40589641000000     		ar = 16520.2679355533m²