Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105705 / 43365
↖ ↑ ↗
← N 51.881578°
E110.327454°		 ← 188.54 m → N 51.881578°
E110.330200°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.879882°
E110.327454°		 ← 188.54 m →
35 543 m²		 N 51.879882°
E110.330200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806468963623047 y=0.330852508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806468963623047 × 217)
    floor (0.806468963623047 × 131072)
    floor (105705.5)     		tx = 105705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330852508544922 × 217)
    floor (0.330852508544922 × 131072)
    floor (43365.5)     		ty = 43365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105705 / 43365 ti = "17/105705/43365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105705/43365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105705 ÷ 217
    105705 ÷ 131072     		x = 0.806465148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43365 ÷ 217
    43365 ÷ 131072     		y = 0.330848693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806465148925781 × 2 - 1) × π
    0.612930297851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.92557732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330848693847656 × 2 - 1) × π
    0.338302612304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.06280900147627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92557732} λ = 1.92557732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06280900147627))-π/2
    2×atan(2.89449020774749)-π/2
    2×1.23815033818001-π/2
    2.47630067636001-1.57079632675     		φ = 0.90550435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92557732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.327454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90550435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.881578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105705 KachelY 43365 1.92557732 0.90550435 110.327454 51.881578
    Oben rechts KachelX + 1 105706 KachelY 43365 1.92562526 0.90550435 110.330200 51.881578
    Unten links KachelX 105705 KachelY + 1 43366 1.92557732 0.90547476 110.327454 51.879882
    Unten rechts KachelX + 1 105706 KachelY + 1 43366 1.92562526 0.90547476 110.330200 51.879882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90550435-0.90547476) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dl = 188.517889999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90550435-0.90547476) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dr = 188.517889999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92557732-1.92562526) × cos(0.90550435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61728886786331 × 6371000     		do = 188.53590926079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92557732-1.92562526) × cos(0.90547476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617312147128607 × 6371000     		du = 188.54301934762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90550435)-sin(0.90547476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61728886786331-0.617312147128607)×R²
    abs(1.92562526-1.92557732)×2.32792652968827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32792652968827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32792652968827e-05×40589641000000     		ar = 35543.0619949673m²