Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105703 / 97056
↖ ↑ ↗
← S 65.109148°
E110.321961°		 ← 128.52 m → S 65.109148°
E110.324707°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.110304°
E110.321961°		 ← 128.52 m →
16 524 m²		 S 65.110304°
E110.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806453704833984 y=0.740482330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806453704833984 × 217)
    floor (0.806453704833984 × 131072)
    floor (105703.5)     		tx = 105703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740482330322266 × 217)
    floor (0.740482330322266 × 131072)
    floor (97056.5)     		ty = 97056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105703 / 97056 ti = "17/105703/97056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105703/97056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105703 ÷ 217
    105703 ÷ 131072     		x = 0.806449890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97056 ÷ 217
    97056 ÷ 131072     		y = 0.740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806449890136719 × 2 - 1) × π
    0.612899780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.92548145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92548145} λ = 1.92548145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51097107602417))-π/2
    2×atan(0.220695561700375)-π/2
    2×0.217213658743341-π/2
    0.434427317486682-1.57079632675     		φ = -1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92548145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.321961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105703 KachelY 97056 1.92548145 -1.13636901 110.321961 -65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 105704 KachelY 97056 1.92552938 -1.13636901 110.324707 -65.109148
    Unten links KachelX 105703 KachelY + 1 97057 1.92548145 -1.13638919 110.321961 -65.110304
    Unten rechts KachelX + 1 105704 KachelY + 1 97057 1.92552938 -1.13638919 110.324707 -65.110304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13636901--1.13638919) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dl = 128.566780000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13636901--1.13638919) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dr = 128.566780000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92548145-1.92552938) × cos(-1.13636901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 128.524124992449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92548145-1.92552938) × cos(-1.13638919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420872677458164 × 6371000     		du = 128.518535160239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13636901)-sin(-1.13638919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420872677458164)×R²
    abs(1.92552938-1.92548145)×1.83055902848728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83055902848728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83055902848728e-05×40589641000000     		ar = 16523.573570046m²