Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105703 / 43368
↖ ↑ ↗
← N 51.876491°
E110.321961°		 ← 188.52 m → N 51.876491°
E110.324707°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 51.874795°
E110.321961°		 ← 188.53 m →
35 540 m²		 N 51.874795°
E110.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806453704833984 y=0.330875396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806453704833984 × 217)
    floor (0.806453704833984 × 131072)
    floor (105703.5)     		tx = 105703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330875396728516 × 217)
    floor (0.330875396728516 × 131072)
    floor (43368.5)     		ty = 43368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105703 / 43368 ti = "17/105703/43368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105703/43368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105703 ÷ 217
    105703 ÷ 131072     		x = 0.806449890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43368 ÷ 217
    43368 ÷ 131072     		y = 0.33087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806449890136719 × 2 - 1) × π
    0.612899780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.92548145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33087158203125 × 2 - 1) × π
    0.3382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0626651907774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92548145} λ = 1.92548145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0626651907774))-π/2
    2×atan(2.89407397901766)-π/2
    2×1.23810594929724-π/2
    2.47621189859448-1.57079632675     		φ = 0.90541557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92548145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.321961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90541557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.876491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105703 KachelY 43368 1.92548145 0.90541557 110.321961 51.876491
    Oben rechts KachelX + 1 105704 KachelY 43368 1.92552938 0.90541557 110.324707 51.876491
    Unten links KachelX 105703 KachelY + 1 43369 1.92548145 0.90538598 110.321961 51.874795
    Unten rechts KachelX + 1 105704 KachelY + 1 43369 1.92552938 0.90538598 110.324707 51.874795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90541557-0.90538598) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dl = 188.517889999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90541557-0.90538598) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dr = 188.517889999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92548145-1.92552938) × cos(0.90541557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617358711904502 × 6371000     		do = 188.517909505459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92548145-1.92552938) × cos(0.90538598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617381989548059 × 6371000     		du = 188.525017613949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90541557)-sin(0.90538598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617358711904502-0.617381989548059)×R²
    abs(1.92552938-1.92548145)×2.32776435565851e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32776435565851e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32776435565851e-05×40589641000000     		ar = 35539.6685323602m²