Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105701 / 43370
↖ ↑ ↗
← N 51.873100°
E110.316467°		 ← 188.57 m → N 51.873100°
E110.319214°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.871404°
E110.316467°		 ← 188.58 m →
35 562 m²		 N 51.871404°
E110.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806438446044922 y=0.330890655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806438446044922 × 217)
    floor (0.806438446044922 × 131072)
    floor (105701.5)     		tx = 105701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330890655517578 × 217)
    floor (0.330890655517578 × 131072)
    floor (43370.5)     		ty = 43370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105701 / 43370 ti = "17/105701/43370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105701/43370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105701 ÷ 217
    105701 ÷ 131072     		x = 0.806434631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43370 ÷ 217
    43370 ÷ 131072     		y = 0.330886840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806434631347656 × 2 - 1) × π
    0.612869262695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.92538557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330886840820312 × 2 - 1) × π
    0.338226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06256931697816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92538557} λ = 1.92538557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06256931697816))-π/2
    2×atan(2.89379652645044)-π/2
    2×1.23807635391866-π/2
    2.47615270783733-1.57079632675     		φ = 0.90535638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92538557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.316467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90535638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.873100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105701 KachelY 43370 1.92538557 0.90535638 110.316467 51.873100
    Oben rechts KachelX + 1 105702 KachelY 43370 1.92543351 0.90535638 110.319214 51.873100
    Unten links KachelX 105701 KachelY + 1 43371 1.92538557 0.90532678 110.316467 51.871404
    Unten rechts KachelX + 1 105702 KachelY + 1 43371 1.92543351 0.90532678 110.319214 51.871404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90535638-0.90532678) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90535638-0.90532678) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92538557-1.92543351) × cos(0.90535638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617405274517508 × 6371000     		do = 188.571462849289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92538557-1.92543351) × cos(0.90532678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617428558946011 × 6371000     		du = 188.578574513095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90535638)-sin(0.90532678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617405274517508-0.617428558946011)×R²
    abs(1.92543351-1.92538557)×2.32844285031897e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32844285031897e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32844285031897e-05×40589641000000     		ar = 35561.7787453869m²