Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1057 / 3111
↖ ↑ ↗
← N 39.673370°
W133.549805°		 ← 3 761.12 m → N 39.673370°
W133.505860°		 →
↑
3 762.08 m
↓
↑
3 762.08 m
↓
N 39.639537°
W133.549805°		 ← 3 762.96 m →
14 153 067 m²		 N 39.639537°
W133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12908935546875 y=0.37982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12908935546875 × 213)
    floor (0.12908935546875 × 8192)
    floor (1057.5)     		tx = 1057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37982177734375 × 213)
    floor (0.37982177734375 × 8192)
    floor (3111.5)     		ty = 3111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1057 / 3111 ti = "13/1057/3111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1057/3111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1057 ÷ 213
    1057 ÷ 8192     		x = 0.1290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3111 ÷ 213
    3111 ÷ 8192     		y = 0.3797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33088381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    0.240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33088381} λ = -2.33088381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755485538012085))-π/2
    2×atan(2.12864481045462)-π/2
    2×1.13161363273891-π/2
    2.26322726547782-1.57079632675     		φ = 0.69243094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33088381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69243094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.673370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1057 KachelY 3111 -2.33088381 0.69243094 -133.549805 39.673370
    Oben rechts KachelX + 1 1058 KachelY 3111 -2.33011682 0.69243094 -133.505860 39.673370
    Unten links KachelX 1057 KachelY + 1 3112 -2.33088381 0.69184044 -133.549805 39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 1058 KachelY + 1 3112 -2.33011682 0.69184044 -133.505860 39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69243094-0.69184044) × R
    0.000590500000000049 × 6371000     		dl = 3762.07550000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69243094-0.69184044) × R
    0.000590500000000049 × 6371000     		dr = 3762.07550000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33088381--2.33011682) × cos(0.69243094) × R
    0.000766989999999801 × 0.769696353997196 × 6371000     		do = 3761.11606914379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33088381--2.33011682) × cos(0.69184044) × R
    0.000766989999999801 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 3762.95752938419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69243094)-sin(0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769696353997196-0.770073200977456)×R²
    abs(-2.33011682--2.33088381)×0.000376846980260526×R²
    0.000766989999999801×0.000376846980260526×6371000²
    0.000766989999999801×0.000376846980260526×40589641000000     		ar = 14153066.8838644m²