Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105690 / 97114
↖ ↑ ↗
← S 65.176112°
E110.286255°		 ← 128.20 m → S 65.176112°
E110.289001°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.177265°
E110.286255°		 ← 128.19 m →
16 441 m²		 S 65.177265°
E110.289001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806354522705078 y=0.740924835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806354522705078 × 217)
    floor (0.806354522705078 × 131072)
    floor (105690.5)     		tx = 105690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740924835205078 × 217)
    floor (0.740924835205078 × 131072)
    floor (97114.5)     		ty = 97114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105690 / 97114 ti = "17/105690/97114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105690/97114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105690 ÷ 217
    105690 ÷ 131072     		x = 0.806350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97114 ÷ 217
    97114 ÷ 131072     		y = 0.740921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806350708007812 × 2 - 1) × π
    0.612701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92485827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740921020507812 × 2 - 1) × π
    -0.481842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51375141620213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92485827} λ = 1.92485827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51375141620213))-π/2
    2×atan(0.220082805193581)-π/2
    2×0.216629286046864-π/2
    0.433258572093727-1.57079632675     		φ = -1.13753775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92485827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13753775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.176112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105690 KachelY 97114 1.92485827 -1.13753775 110.286255 -65.176112
    Oben rechts KachelX + 1 105691 KachelY 97114 1.92490620 -1.13753775 110.289001 -65.176112
    Unten links KachelX 105690 KachelY + 1 97115 1.92485827 -1.13755788 110.286255 -65.177265
    Unten rechts KachelX + 1 105691 KachelY + 1 97115 1.92490620 -1.13755788 110.289001 -65.177265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13753775--1.13755788) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13753775--1.13755788) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(-1.13753775) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		do = 128.200299431703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(-1.13755788) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419812248530462 × 6371000     		du = 128.194720429611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13753775)-sin(-1.13755788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419830518654264-0.419812248530462)×R²
    abs(1.92490620-1.92485827)×1.82701238019556e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.82701238019556e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.82701238019556e-05×40589641000000     		ar = 16441.1037395988m²