Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105690 / 43825
↖ ↑ ↗
← N 51.094898°
E110.286255°		 ← 191.78 m → N 51.094898°
E110.289001°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 51.093173°
E110.286255°		 ← 191.78 m →
36 777 m²		 N 51.093173°
E110.289001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806354522705078 y=0.334362030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806354522705078 × 217)
    floor (0.806354522705078 × 131072)
    floor (105690.5)     		tx = 105690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334362030029297 × 217)
    floor (0.334362030029297 × 131072)
    floor (43825.5)     		ty = 43825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105690 / 43825 ti = "17/105690/43825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105690/43825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105690 ÷ 217
    105690 ÷ 131072     		x = 0.806350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43825 ÷ 217
    43825 ÷ 131072     		y = 0.334358215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806350708007812 × 2 - 1) × π
    0.612701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92485827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334358215332031 × 2 - 1) × π
    0.331283569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04075802765104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92485827} λ = 1.92485827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04075802765104))-π/2
    2×atan(2.83136245212708)-π/2
    2×1.23128526422733-π/2
    2.46257052845466-1.57079632675     		φ = 0.89177420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92485827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89177420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.094898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105690 KachelY 43825 1.92485827 0.89177420 110.286255 51.094898
    Oben rechts KachelX + 1 105691 KachelY 43825 1.92490620 0.89177420 110.289001 51.094898
    Unten links KachelX 105690 KachelY + 1 43826 1.92485827 0.89174410 110.286255 51.093173
    Unten rechts KachelX + 1 105691 KachelY + 1 43826 1.92490620 0.89174410 110.289001 51.093173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89177420-0.89174410) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dl = 191.767099999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89177420-0.89174410) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dr = 191.767099999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(0.89177420) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.628032355975724 × 6371000     		do = 191.777235125659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(0.89174410) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.628055779126743 × 6371000     		du = 191.784387666603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89177420)-sin(0.89174410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628032355975724-0.628055779126743)×R²
    abs(1.92490620-1.92485827)×2.34231510192195e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.34231510192195e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.34231510192195e-05×40589641000000     		ar = 36777.2500397875m²