Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105690 / 43800
↖ ↑ ↗
← N 51.138002°
E110.286255°		 ← 191.60 m → N 51.138002°
E110.289001°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 51.136278°
E110.286255°		 ← 191.61 m →
36 719 m²		 N 51.136278°
E110.289001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806354522705078 y=0.334171295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806354522705078 × 217)
    floor (0.806354522705078 × 131072)
    floor (105690.5)     		tx = 105690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334171295166016 × 217)
    floor (0.334171295166016 × 131072)
    floor (43800.5)     		ty = 43800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105690 / 43800 ti = "17/105690/43800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105690/43800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105690 ÷ 217
    105690 ÷ 131072     		x = 0.806350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43800 ÷ 217
    43800 ÷ 131072     		y = 0.33416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806350708007812 × 2 - 1) × π
    0.612701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92485827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33416748046875 × 2 - 1) × π
    0.3316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04195645014154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92485827} λ = 1.92485827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04195645014154))-π/2
    2×atan(2.83475765460562)-π/2
    2×1.23166141281633-π/2
    2.46332282563266-1.57079632675     		φ = 0.89252650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92485827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89252650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.138002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105690 KachelY 43800 1.92485827 0.89252650 110.286255 51.138002
    Oben rechts KachelX + 1 105691 KachelY 43800 1.92490620 0.89252650 110.289001 51.138002
    Unten links KachelX 105690 KachelY + 1 43801 1.92485827 0.89249642 110.286255 51.136278
    Unten rechts KachelX + 1 105691 KachelY + 1 43801 1.92490620 0.89249642 110.289001 51.136278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89252650-0.89249642) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89252650-0.89249642) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(0.89252650) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.627446748061166 × 6371000     		do = 191.598412704086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92485827-1.92490620) × cos(0.89249642) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.627470169854318 × 6371000     		du = 191.605564830389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89252650)-sin(0.89249642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627446748061166-0.627470169854318)×R²
    abs(1.92490620-1.92485827)×2.34217931521785e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.34217931521785e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.34217931521785e-05×40589641000000     		ar = 36718.5438174675m²