Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105688 / 43384
↖ ↑ ↗
← N 51.849353°
E110.280762°		 ← 188.67 m → N 51.849353°
E110.283508°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 51.847656°
E110.280762°		 ← 188.68 m →
35 593 m²		 N 51.847656°
E110.283508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806339263916016 y=0.330997467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806339263916016 × 217)
    floor (0.806339263916016 × 131072)
    floor (105688.5)     		tx = 105688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330997467041016 × 217)
    floor (0.330997467041016 × 131072)
    floor (43384.5)     		ty = 43384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105688 / 43384 ti = "17/105688/43384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105688/43384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105688 ÷ 217
    105688 ÷ 131072     		x = 0.80633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43384 ÷ 217
    43384 ÷ 131072     		y = 0.33099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80633544921875 × 2 - 1) × π
    0.6126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92476239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33099365234375 × 2 - 1) × π
    0.3380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06189820038348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92476239} λ = 1.92476239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06189820038348))-π/2
    2×atan(2.89185510311349)-π/2
    2×1.23786912376542-π/2
    2.47573824753084-1.57079632675     		φ = 0.90494192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92476239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90494192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.849353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105688 KachelY 43384 1.92476239 0.90494192 110.280762 51.849353
    Oben rechts KachelX + 1 105689 KachelY 43384 1.92481033 0.90494192 110.283508 51.849353
    Unten links KachelX 105688 KachelY + 1 43385 1.92476239 0.90491231 110.280762 51.847656
    Unten rechts KachelX + 1 105689 KachelY + 1 43385 1.92481033 0.90491231 110.283508 51.847656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90494192-0.90491231) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dl = 188.645309999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90494192-0.90491231) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dr = 188.645309999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92476239-1.92481033) × cos(0.90494192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61773125446456 × 6371000     		do = 188.671025515843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92476239-1.92481033) × cos(0.90491231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617754539180293 × 6371000     		du = 188.678137267376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90494192)-sin(0.90491231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61773125446456-0.617754539180293)×R²
    abs(1.92481033-1.92476239)×2.32847157327631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32847157327631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32847157327631e-05×40589641000000     		ar = 35592.5748981035m²