Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105682 / 43385
↖ ↑ ↗
← N 51.847656°
E110.264282°		 ← 188.68 m → N 51.847656°
E110.267029°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.845959°
E110.264282°		 ← 188.69 m →
35 606 m²		 N 51.845959°
E110.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806293487548828 y=0.331005096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806293487548828 × 217)
    floor (0.806293487548828 × 131072)
    floor (105682.5)     		tx = 105682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331005096435547 × 217)
    floor (0.331005096435547 × 131072)
    floor (43385.5)     		ty = 43385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105682 / 43385 ti = "17/105682/43385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105682/43385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105682 ÷ 217
    105682 ÷ 131072     		x = 0.806289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43385 ÷ 217
    43385 ÷ 131072     		y = 0.331001281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806289672851562 × 2 - 1) × π
    0.612579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92447477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331001281738281 × 2 - 1) × π
    0.337997436523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06185026348386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92447477} λ = 1.92447477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06185026348386))-π/2
    2×atan(2.8917164798683)-π/2
    2×1.23785431742579-π/2
    2.47570863485158-1.57079632675     		φ = 0.90491231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92447477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90491231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.847656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105682 KachelY 43385 1.92447477 0.90491231 110.264282 51.847656
    Oben rechts KachelX + 1 105683 KachelY 43385 1.92452271 0.90491231 110.267029 51.847656
    Unten links KachelX 105682 KachelY + 1 43386 1.92447477 0.90488269 110.264282 51.845959
    Unten rechts KachelX + 1 105683 KachelY + 1 43386 1.92452271 0.90488269 110.267029 51.845959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90491231-0.90488269) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90491231-0.90488269) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92447477-1.92452271) × cos(0.90491231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617754539180293 × 6371000     		do = 188.678137267376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92447477-1.92452271) × cos(0.90488269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617777831217935 × 6371000     		du = 188.685251255209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90491231)-sin(0.90488269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617754539180293-0.617777831217935)×R²
    abs(1.92452271-1.92447477)×2.32920376421752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32920376421752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32920376421752e-05×40589641000000     		ar = 35605.9376187586m²