Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105672 / 52552
↖ ↑ ↗
← N 33.559707°
E110.236816°		 ← 254.51 m → N 33.559707°
E110.239563°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
N 33.557418°
E110.236816°		 ← 254.52 m →
64 780 m²		 N 33.557418°
E110.239563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806217193603516 y=0.400943756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806217193603516 × 217)
    floor (0.806217193603516 × 131072)
    floor (105672.5)     		tx = 105672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400943756103516 × 217)
    floor (0.400943756103516 × 131072)
    floor (52552.5)     		ty = 52552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105672 / 52552 ti = "17/105672/52552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105672/52552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105672 ÷ 217
    105672 ÷ 131072     		x = 0.80621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52552 ÷ 217
    52552 ÷ 131072     		y = 0.40093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80621337890625 × 2 - 1) × π
    0.6124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92399540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40093994140625 × 2 - 1) × π
    0.1981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.622412704666809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92399540} λ = 1.92399540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.622412704666809))-π/2
    2×atan(1.86341850110587)-π/2
    2×1.07826185189915-π/2
    2.15652370379829-1.57079632675     		φ = 0.58572738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92399540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.236816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58572738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.559707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105672 KachelY 52552 1.92399540 0.58572738 110.236816 33.559707
    Oben rechts KachelX + 1 105673 KachelY 52552 1.92404334 0.58572738 110.239563 33.559707
    Unten links KachelX 105672 KachelY + 1 52553 1.92399540 0.58568743 110.236816 33.557418
    Unten rechts KachelX + 1 105673 KachelY + 1 52553 1.92404334 0.58568743 110.239563 33.557418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58572738-0.58568743) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58572738-0.58568743) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92399540-1.92404334) × cos(0.58572738) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.833310206584857 × 6371000     		do = 254.514386496745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92399540-1.92404334) × cos(0.58568743) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.833332290506054 × 6371000     		du = 254.521131494718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58572738)-sin(0.58568743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833310206584857-0.833332290506054)×R²
    abs(1.92404334-1.92399540)×2.2083921196181e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.2083921196181e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.2083921196181e-05×40589641000000     		ar = 64780.2290787921m²