Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105660 / 43388
↖ ↑ ↗
← N 51.842565°
E110.203857°		 ← 188.70 m → N 51.842565°
E110.206604°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 51.840869°
E110.203857°		 ← 188.71 m →
35 598 m²		 N 51.840869°
E110.206604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806125640869141 y=0.331027984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806125640869141 × 217)
    floor (0.806125640869141 × 131072)
    floor (105660.5)     		tx = 105660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331027984619141 × 217)
    floor (0.331027984619141 × 131072)
    floor (43388.5)     		ty = 43388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105660 / 43388 ti = "17/105660/43388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105660/43388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105660 ÷ 217
    105660 ÷ 131072     		x = 0.806121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43388 ÷ 217
    43388 ÷ 131072     		y = 0.331024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806121826171875 × 2 - 1) × π
    0.61224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92342016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331024169921875 × 2 - 1) × π
    0.33795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.061706452785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92342016} λ = 1.92342016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.061706452785))-π/2
    2×atan(2.89130065000154)-π/2
    2×1.23780989505795-π/2
    2.47561979011591-1.57079632675     		φ = 0.90482346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92342016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90482346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.842565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105660 KachelY 43388 1.92342016 0.90482346 110.203857 51.842565
    Oben rechts KachelX + 1 105661 KachelY 43388 1.92346810 0.90482346 110.206604 51.842565
    Unten links KachelX 105660 KachelY + 1 43389 1.92342016 0.90479385 110.203857 51.840869
    Unten rechts KachelX + 1 105661 KachelY + 1 43389 1.92346810 0.90479385 110.206604 51.840869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90482346-0.90479385) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90482346-0.90479385) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92342016-1.92346810) × cos(0.90482346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617824405804027 × 6371000     		do = 188.699476332631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92342016-1.92346810) × cos(0.90479385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617847688352801 × 6371000     		du = 188.70658742232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90482346)-sin(0.90479385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617824405804027-0.617847688352801)×R²
    abs(1.92346810-1.92342016)×2.32825487741506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32825487741506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32825487741506e-05×40589641000000     		ar = 35597.9419489261m²