Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105659 / 43387
↖ ↑ ↗
← N 51.844263°
E110.201111°		 ← 188.69 m → N 51.844263°
E110.203857°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.842565°
E110.201111°		 ← 188.70 m →
35 609 m²		 N 51.842565°
E110.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806118011474609 y=0.331020355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806118011474609 × 217)
    floor (0.806118011474609 × 131072)
    floor (105659.5)     		tx = 105659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331020355224609 × 217)
    floor (0.331020355224609 × 131072)
    floor (43387.5)     		ty = 43387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105659 / 43387 ti = "17/105659/43387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105659/43387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105659 ÷ 217
    105659 ÷ 131072     		x = 0.806114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43387 ÷ 217
    43387 ÷ 131072     		y = 0.331016540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806114196777344 × 2 - 1) × π
    0.612228393554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.92337222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331016540527344 × 2 - 1) × π
    0.337966918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.06175438968462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92337222} λ = 1.92337222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06175438968462))-π/2
    2×atan(2.89143925331265)-π/2
    2×1.23782470307207-π/2
    2.47564940614413-1.57079632675     		φ = 0.90485308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92337222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.201111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90485308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.844263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105659 KachelY 43387 1.92337222 0.90485308 110.201111 51.844263
    Oben rechts KachelX + 1 105660 KachelY 43387 1.92342016 0.90485308 110.203857 51.844263
    Unten links KachelX 105659 KachelY + 1 43388 1.92337222 0.90482346 110.201111 51.842565
    Unten rechts KachelX + 1 105660 KachelY + 1 43388 1.92342016 0.90482346 110.203857 51.842565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90485308-0.90482346) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dl = 188.709019999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90485308-0.90482346) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dr = 188.709019999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92337222-1.92342016) × cos(0.90485308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61780111485023 × 6371000     		do = 188.692362675833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92337222-1.92342016) × cos(0.90482346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617824405804027 × 6371000     		du = 188.699476332631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90485308)-sin(0.90482346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61780111485023-0.617824405804027)×R²
    abs(1.92342016-1.92337222)×2.32909537968284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32909537968284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32909537968284e-05×40589641000000     		ar = 35608.6220503274m²