Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105648 / 43376
↖ ↑ ↗
← N 51.862924°
E110.170899°		 ← 188.57 m → N 51.862924°
E110.173645°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.861228°
E110.170899°		 ← 188.58 m →
35 562 m²		 N 51.861228°
E110.173645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806034088134766 y=0.330936431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806034088134766 × 217)
    floor (0.806034088134766 × 131072)
    floor (105648.5)     		tx = 105648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330936431884766 × 217)
    floor (0.330936431884766 × 131072)
    floor (43376.5)     		ty = 43376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105648 / 43376 ti = "17/105648/43376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105648/43376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105648 ÷ 217
    105648 ÷ 131072     		x = 0.8060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43376 ÷ 217
    43376 ÷ 131072     		y = 0.3309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8060302734375 × 2 - 1) × π
    0.612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92284492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3309326171875 × 2 - 1) × π
    0.338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06228169558044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92284492} λ = 1.92284492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06228169558044))-π/2
    2×atan(2.89296432833351)-π/2
    2×1.23798755438991-π/2
    2.47597510877981-1.57079632675     		φ = 0.90517878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92284492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.170899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90517878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.862924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105648 KachelY 43376 1.92284492 0.90517878 110.170899 51.862924
    Oben rechts KachelX + 1 105649 KachelY 43376 1.92289285 0.90517878 110.173645 51.862924
    Unten links KachelX 105648 KachelY + 1 43377 1.92284492 0.90514918 110.170899 51.861228
    Unten rechts KachelX + 1 105649 KachelY + 1 43377 1.92289285 0.90514918 110.173645 51.861228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90517878-0.90514918) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90517878-0.90514918) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92284492-1.92289285) × cos(0.90517878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617544972973626 × 6371000     		do = 188.574786563637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92284492-1.92289285) × cos(0.90514918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617568254156026 × 6371000     		du = 188.581895752755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90517878)-sin(0.90514918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617544972973626-0.617568254156026)×R²
    abs(1.92289285-1.92284492)×2.32811823999146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32811823999146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32811823999146e-05×40589641000000     		ar = 35562.4053035375m²