Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105647 / 43378
↖ ↑ ↗
← N 51.859531°
E110.168152°		 ← 188.63 m → N 51.859531°
E110.170899°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.857835°
E110.168152°		 ← 188.64 m →
35 573 m²		 N 51.857835°
E110.170899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806026458740234 y=0.330951690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806026458740234 × 217)
    floor (0.806026458740234 × 131072)
    floor (105647.5)     		tx = 105647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330951690673828 × 217)
    floor (0.330951690673828 × 131072)
    floor (43378.5)     		ty = 43378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105647 / 43378 ti = "17/105647/43378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105647/43378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105647 ÷ 217
    105647 ÷ 131072     		x = 0.806022644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43378 ÷ 217
    43378 ÷ 131072     		y = 0.330947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806022644042969 × 2 - 1) × π
    0.612045288085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.92279698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330947875976562 × 2 - 1) × π
    0.338104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0621858217812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92279698} λ = 1.92279698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0621858217812))-π/2
    2×atan(2.89268698214762)-π/2
    2×1.23795795008243-π/2
    2.47591590016486-1.57079632675     		φ = 0.90511957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92279698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.168152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90511957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.859531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105647 KachelY 43378 1.92279698 0.90511957 110.168152 51.859531
    Oben rechts KachelX + 1 105648 KachelY 43378 1.92284492 0.90511957 110.170899 51.859531
    Unten links KachelX 105647 KachelY + 1 43379 1.92279698 0.90508997 110.168152 51.857835
    Unten rechts KachelX + 1 105648 KachelY + 1 43379 1.92284492 0.90508997 110.170899 51.857835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90511957-0.90508997) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90511957-0.90508997) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92279698-1.92284492) × cos(0.90511957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617591542662327 × 6371000     		do = 188.628353935259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92279698-1.92284492) × cos(0.90508997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617614822762347 × 6371000     		du = 188.635464277035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90511957)-sin(0.90508997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617591542662327-0.617614822762347)×R²
    abs(1.92284492-1.92279698)×2.32801000195071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32801000195071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32801000195071e-05×40589641000000     		ar = 35572.5072327231m²