Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105641 / 43403
↖ ↑ ↗
← N 51.817105°
E110.151672°		 ← 188.81 m → N 51.817105°
E110.154419°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.815407°
E110.151672°		 ← 188.81 m →
35 642 m²		 N 51.815407°
E110.154419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805980682373047 y=0.331142425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805980682373047 × 217)
    floor (0.805980682373047 × 131072)
    floor (105641.5)     		tx = 105641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331142425537109 × 217)
    floor (0.331142425537109 × 131072)
    floor (43403.5)     		ty = 43403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105641 / 43403 ti = "17/105641/43403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105641/43403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105641 ÷ 217
    105641 ÷ 131072     		x = 0.805976867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43403 ÷ 217
    43403 ÷ 131072     		y = 0.331138610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805976867675781 × 2 - 1) × π
    0.611953735351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.92250936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331138610839844 × 2 - 1) × π
    0.337722778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.0609873992907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92250936} λ = 1.92250936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0609873992907))-π/2
    2×atan(2.889222397443)-π/2
    2×1.2375877078605-π/2
    2.475175415721-1.57079632675     		φ = 0.90437909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92250936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.151672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90437909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.817105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105641 KachelY 43403 1.92250936 0.90437909 110.151672 51.817105
    Oben rechts KachelX + 1 105642 KachelY 43403 1.92255730 0.90437909 110.154419 51.817105
    Unten links KachelX 105641 KachelY + 1 43404 1.92250936 0.90434946 110.151672 51.815407
    Unten rechts KachelX + 1 105642 KachelY + 1 43404 1.92255730 0.90434946 110.154419 51.815407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90437909-0.90434946) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90437909-0.90434946) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92250936-1.92255730) × cos(0.90437909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618173760077069 × 6371000     		do = 188.806178119997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92250936-1.92255730) × cos(0.90434946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618197050214648 × 6371000     		du = 188.813291527502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90437909)-sin(0.90434946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618173760077069-0.618197050214648)×R²
    abs(1.92255730-1.92250936)×2.32901375785133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32901375785133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32901375785133e-05×40589641000000     		ar = 35642.1290958363m²