Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105640 / 43400
↖ ↑ ↗
← N 51.822198°
E110.148926°		 ← 188.78 m → N 51.822198°
E110.151672°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.820500°
E110.148926°		 ← 188.79 m →
35 638 m²		 N 51.820500°
E110.151672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805973052978516 y=0.331119537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805973052978516 × 217)
    floor (0.805973052978516 × 131072)
    floor (105640.5)     		tx = 105640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331119537353516 × 217)
    floor (0.331119537353516 × 131072)
    floor (43400.5)     		ty = 43400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105640 / 43400 ti = "17/105640/43400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105640/43400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105640 ÷ 217
    105640 ÷ 131072     		x = 0.80596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43400 ÷ 217
    43400 ÷ 131072     		y = 0.33111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80596923828125 × 2 - 1) × π
    0.6119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92246142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33111572265625 × 2 - 1) × π
    0.3377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06113120998956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92246142} λ = 1.92246142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06113120998956))-π/2
    2×atan(2.88963792841333)-π/2
    2×1.23763215534849-π/2
    2.47526431069697-1.57079632675     		φ = 0.90446798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92246142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90446798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.822198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105640 KachelY 43400 1.92246142 0.90446798 110.148926 51.822198
    Oben rechts KachelX + 1 105641 KachelY 43400 1.92250936 0.90446798 110.151672 51.822198
    Unten links KachelX 105640 KachelY + 1 43401 1.92246142 0.90443835 110.148926 51.820500
    Unten rechts KachelX + 1 105641 KachelY + 1 43401 1.92250936 0.90443835 110.151672 51.820500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90446798-0.90443835) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90446798-0.90443835) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92246142-1.92250936) × cos(0.90446798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		do = 188.784836902949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92246142-1.92250936) × cos(0.90443835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61812717817378 × 6371000     		du = 188.791950807715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90446798)-sin(0.90443835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61810388640811-0.61812717817378)×R²
    abs(1.92250936-1.92246142)×2.32917656697307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32917656697307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32917656697307e-05×40589641000000     		ar = 35638.1005029828m²