Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105632 / 44255
↖ ↑ ↗
← N 50.347213°
E110.126953°		 ← 194.86 m → N 50.347213°
E110.129699°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.345461°
E110.126953°		 ← 194.87 m →
37 977 m²		 N 50.345461°
E110.129699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805912017822266 y=0.337642669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805912017822266 × 217)
    floor (0.805912017822266 × 131072)
    floor (105632.5)     		tx = 105632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337642669677734 × 217)
    floor (0.337642669677734 × 131072)
    floor (44255.5)     		ty = 44255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105632 / 44255 ti = "17/105632/44255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105632/44255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105632 ÷ 217
    105632 ÷ 131072     		x = 0.805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44255 ÷ 217
    44255 ÷ 131072     		y = 0.337638854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805908203125 × 2 - 1) × π
    0.61181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92207793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337638854980469 × 2 - 1) × π
    0.324722290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02014516081441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92207793} λ = 1.92207793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02014516081441))-π/2
    2×atan(2.77359735239409)-π/2
    2×1.22476048252479-π/2
    2.44952096504957-1.57079632675     		φ = 0.87872464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92207793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87872464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.347213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105632 KachelY 44255 1.92207793 0.87872464 110.126953 50.347213
    Oben rechts KachelX + 1 105633 KachelY 44255 1.92212586 0.87872464 110.129699 50.347213
    Unten links KachelX 105632 KachelY + 1 44256 1.92207793 0.87869405 110.126953 50.345461
    Unten rechts KachelX + 1 105633 KachelY + 1 44256 1.92212586 0.87869405 110.129699 50.345461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87872464-0.87869405) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87872464-0.87869405) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92207793-1.92212586) × cos(0.87872464) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638133595291861 × 6371000     		do = 194.86177006964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92207793-1.92212586) × cos(0.87869405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638157147019085 × 6371000     		du = 194.868961872875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87872464)-sin(0.87869405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638133595291861-0.638157147019085)×R²
    abs(1.92212586-1.92207793)×2.35517272232366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35517272232366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35517272232366e-05×40589641000000     		ar = 37977.0948765159m²