Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105617 / 96956
↖ ↑ ↗
← S 64.993296°
E110.085754°		 ← 129.11 m → S 64.993296°
E110.088501°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
S 64.994456°
E110.085754°		 ← 129.11 m →
16 665 m²		 S 64.994456°
E110.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805797576904297 y=0.739719390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805797576904297 × 217)
    floor (0.805797576904297 × 131072)
    floor (105617.5)     		tx = 105617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739719390869141 × 217)
    floor (0.739719390869141 × 131072)
    floor (96956.5)     		ty = 96956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105617 / 96956 ti = "17/105617/96956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105617/96956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105617 ÷ 217
    105617 ÷ 131072     		x = 0.805793762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96956 ÷ 217
    96956 ÷ 131072     		y = 0.739715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805793762207031 × 2 - 1) × π
    0.611587524414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.92135887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.47943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92135887} λ = 1.92135887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50617738606216))-π/2
    2×atan(0.221756047588654)-π/2
    2×0.218224665040309-π/2
    0.436449330080619-1.57079632675     		φ = -1.13434700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92135887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.085754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13434700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.993296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105617 KachelY 96956 1.92135887 -1.13434700 110.085754 -64.993296
    Oben rechts KachelX + 1 105618 KachelY 96956 1.92140681 -1.13434700 110.088501 -64.993296
    Unten links KachelX 105617 KachelY + 1 96957 1.92135887 -1.13436726 110.085754 -64.994456
    Unten rechts KachelX + 1 105618 KachelY + 1 96957 1.92140681 -1.13436726 110.088501 -64.994456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13434700--1.13436726) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13434700--1.13436726) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92135887-1.92140681) × cos(-1.13434700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		do = 129.110885002779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92135887-1.92140681) × cos(-1.13436726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42270594848146 × 6371000     		du = 129.105277117267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13434700)-sin(-1.13436726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422724309361955-0.42270594848146)×R²
    abs(1.92140681-1.92135887)×1.83608804948943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83608804948943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83608804948943e-05×40589641000000     		ar = 16664.8140614166m²