Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105616 / 96955
↖ ↑ ↗
← S 64.992134°
E110.083008°		 ← 129.09 m → S 64.992134°
E110.085754°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.993296°
E110.083008°		 ← 129.08 m →
16 670 m²		 S 64.993296°
E110.085754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805789947509766 y=0.739711761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805789947509766 × 217)
    floor (0.805789947509766 × 131072)
    floor (105616.5)     		tx = 105616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739711761474609 × 217)
    floor (0.739711761474609 × 131072)
    floor (96955.5)     		ty = 96955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105616 / 96955 ti = "17/105616/96955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105616/96955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105616 ÷ 217
    105616 ÷ 131072     		x = 0.8057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96955 ÷ 217
    96955 ÷ 131072     		y = 0.739707946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8057861328125 × 2 - 1) × π
    0.611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92131094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739707946777344 × 2 - 1) × π
    -0.479415893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50612944916254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92131094} λ = 1.92131094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50612944916254))-π/2
    2×atan(0.221766678140843)-π/2
    2×0.21823479730686-π/2
    0.43646959461372-1.57079632675     		φ = -1.13432673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92131094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13432673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.992134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105616 KachelY 96955 1.92131094 -1.13432673 110.083008 -64.992134
    Oben rechts KachelX + 1 105617 KachelY 96955 1.92135887 -1.13432673 110.085754 -64.992134
    Unten links KachelX 105616 KachelY + 1 96956 1.92131094 -1.13434700 110.083008 -64.993296
    Unten rechts KachelX + 1 105617 KachelY + 1 96956 1.92135887 -1.13434700 110.085754 -64.993296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13432673--1.13434700) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13432673--1.13434700) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92131094-1.92135887) × cos(-1.13432673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422742679131433 × 6371000     		do = 129.089562667292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92131094-1.92135887) × cos(-1.13434700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422724309361955 × 6371000     		du = 129.083953237194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13432673)-sin(-1.13434700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422742679131433-0.422724309361955)×R²
    abs(1.92135887-1.92131094)×1.83697694778329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83697694778329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83697694778329e-05×40589641000000     		ar = 16670.2858672355m²