Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105613 / 97126
↖ ↑ ↗
← S 65.189946°
E110.074768°		 ← 128.13 m → S 65.189946°
E110.077514°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
S 65.191098°
E110.074768°		 ← 128.13 m →
16 416 m²		 S 65.191098°
E110.077514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805767059326172 y=0.741016387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805767059326172 × 217)
    floor (0.805767059326172 × 131072)
    floor (105613.5)     		tx = 105613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741016387939453 × 217)
    floor (0.741016387939453 × 131072)
    floor (97126.5)     		ty = 97126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105613 / 97126 ti = "17/105613/97126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105613/97126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105613 ÷ 217
    105613 ÷ 131072     		x = 0.805763244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97126 ÷ 217
    97126 ÷ 131072     		y = 0.741012573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805763244628906 × 2 - 1) × π
    0.611526489257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.92116713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741012573242188 × 2 - 1) × π
    -0.482025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51432665899757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92116713} λ = 1.92116713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51432665899757))-π/2
    2×atan(0.219956240551683)-π/2
    2×0.216508565325076-π/2
    0.433017130650151-1.57079632675     		φ = -1.13777920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92116713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.074768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13777920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.189946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105613 KachelY 97126 1.92116713 -1.13777920 110.074768 -65.189946
    Oben rechts KachelX + 1 105614 KachelY 97126 1.92121506 -1.13777920 110.077514 -65.189946
    Unten links KachelX 105613 KachelY + 1 97127 1.92116713 -1.13779931 110.074768 -65.191098
    Unten rechts KachelX + 1 105614 KachelY + 1 97127 1.92121506 -1.13779931 110.077514 -65.191098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13777920--1.13779931) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13777920--1.13779931) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92116713-1.92121506) × cos(-1.13777920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		do = 128.133378468818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92116713-1.92121506) × cos(-1.13779931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419593111780587 × 6371000     		du = 128.127804387415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13777920)-sin(-1.13779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419611365790105-0.419593111780587)×R²
    abs(1.92121506-1.92116713)×1.82540095182149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82540095182149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82540095182149e-05×40589641000000     		ar = 16416.1951600952m²