Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105610 / 96954
↖ ↑ ↗
← S 64.990973°
E110.066529°		 ← 129.10 m → S 64.990973°
E110.069275°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
S 64.992134°
E110.066529°		 ← 129.09 m →
16 663 m²		 S 64.992134°
E110.069275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805744171142578 y=0.739704132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805744171142578 × 217)
    floor (0.805744171142578 × 131072)
    floor (105610.5)     		tx = 105610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739704132080078 × 217)
    floor (0.739704132080078 × 131072)
    floor (96954.5)     		ty = 96954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105610 / 96954 ti = "17/105610/96954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105610/96954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105610 ÷ 217
    105610 ÷ 131072     		x = 0.805740356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96954 ÷ 217
    96954 ÷ 131072     		y = 0.739700317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805740356445312 × 2 - 1) × π
    0.611480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92102332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739700317382812 × 2 - 1) × π
    -0.479400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50608151226292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92102332} λ = 1.92102332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50608151226292))-π/2
    2×atan(0.221777309202641)-π/2
    2×0.218244930013594-π/2
    0.436489860027189-1.57079632675     		φ = -1.13430647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92102332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.066529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13430647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.990973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105610 KachelY 96954 1.92102332 -1.13430647 110.066529 -64.990973
    Oben rechts KachelX + 1 105611 KachelY 96954 1.92107125 -1.13430647 110.069275 -64.990973
    Unten links KachelX 105610 KachelY + 1 96955 1.92102332 -1.13432673 110.066529 -64.992134
    Unten rechts KachelX + 1 105611 KachelY + 1 96955 1.92107125 -1.13432673 110.069275 -64.992134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13430647--1.13432673) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13430647--1.13432673) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92102332-1.92107125) × cos(-1.13430647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		do = 129.095169277034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92102332-1.92107125) × cos(-1.13432673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422742679131433 × 6371000     		du = 129.089562667292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13430647)-sin(-1.13432673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422761039664805-0.422742679131433)×R²
    abs(1.92107125-1.92102332)×1.83605333722858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83605333722858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83605333722858e-05×40589641000000     		ar = 16662.785613191m²