Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105604 / 44668
↖ ↑ ↗
← N 49.617828°
E110.050049°		 ← 197.88 m → N 49.617828°
E110.052795°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
N 49.616049°
E110.050049°		 ← 197.89 m →
39 158 m²		 N 49.616049°
E110.052795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805698394775391 y=0.340793609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805698394775391 × 217)
    floor (0.805698394775391 × 131072)
    floor (105604.5)     		tx = 105604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340793609619141 × 217)
    floor (0.340793609619141 × 131072)
    floor (44668.5)     		ty = 44668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105604 / 44668 ti = "17/105604/44668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105604/44668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105604 ÷ 217
    105604 ÷ 131072     		x = 0.805694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44668 ÷ 217
    44668 ÷ 131072     		y = 0.340789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805694580078125 × 2 - 1) × π
    0.61138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92073569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340789794921875 × 2 - 1) × π
    0.31842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00034722127133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92073569} λ = 1.92073569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00034722127133))-π/2
    2×atan(2.71922583761191)-π/2
    2×1.21839539925599-π/2
    2.43679079851197-1.57079632675     		φ = 0.86599447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92073569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86599447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.617828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105604 KachelY 44668 1.92073569 0.86599447 110.050049 49.617828
    Oben rechts KachelX + 1 105605 KachelY 44668 1.92078363 0.86599447 110.052795 49.617828
    Unten links KachelX 105604 KachelY + 1 44669 1.92073569 0.86596341 110.050049 49.616049
    Unten rechts KachelX + 1 105605 KachelY + 1 44669 1.92078363 0.86596341 110.052795 49.616049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86599447-0.86596341) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86599447-0.86596341) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92073569-1.92078363) × cos(0.86599447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647882908661544 × 6371000     		do = 197.880116811175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92073569-1.92078363) × cos(0.86596341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647906567991573 × 6371000     		du = 197.887342979557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86599447)-sin(0.86596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647882908661544-0.647906567991573)×R²
    abs(1.92078363-1.92073569)×2.36593300282362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36593300282362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36593300282362e-05×40589641000000     		ar = 39157.8775757598m²