Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1056 / 929
↖ ↑ ↗
← N 79.928236°
W133.593750°		 ← 854.56 m → N 79.928236°
W133.549805°		 →
↑
854.86 m
↓
↑
854.86 m
↓
N 79.920548°
W133.593750°		 ← 855.20 m →
730 804 m²		 N 79.920548°
W133.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12896728515625 y=0.11346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12896728515625 × 213)
    floor (0.12896728515625 × 8192)
    floor (1056.5)     		tx = 1056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11346435546875 × 213)
    floor (0.11346435546875 × 8192)
    floor (929.5)     		ty = 929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1056 / 929 ti = "13/1056/929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1056/929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1056 ÷ 213
    1056 ÷ 8192     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 929 ÷ 213
    929 ÷ 8192     		y = 0.1134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1134033203125 × 2 - 1) × π
    0.773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42905857754749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42905857754749))-π/2
    2×atan(11.3481936053503)-π/2
    2×1.48290360448196-π/2
    2.96580720896392-1.57079632675     		φ = 1.39501088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39501088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.928236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1056 KachelY 929 -2.33165080 1.39501088 -133.593750 79.928236
    Oben rechts KachelX + 1 1057 KachelY 929 -2.33088381 1.39501088 -133.549805 79.928236
    Unten links KachelX 1056 KachelY + 1 930 -2.33165080 1.39487670 -133.593750 79.920548
    Unten rechts KachelX + 1 1057 KachelY + 1 930 -2.33088381 1.39487670 -133.549805 79.920548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39501088-1.39487670) × R
    0.000134180000000095 × 6371000     		dl = 854.860780000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39501088-1.39487670) × R
    0.000134180000000095 × 6371000     		dr = 854.860780000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.33088381) × cos(1.39501088) × R
    0.000766989999999801 × 0.174881534111928 × 6371000     		do = 854.557442982618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.33088381) × cos(1.39487670) × R
    0.000766989999999801 × 0.175013644753984 × 6371000     		du = 855.203000748565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39501088)-sin(1.39487670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174881534111928-0.175013644753984)×R²
    abs(-2.33088381--2.33165080)×0.000132110642056565×R²
    0.000766989999999801×0.000132110642056565×6371000²
    0.000766989999999801×0.000132110642056565×40589641000000     		ar = 730803.574366842m²