Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1056 / 670
↖ ↑ ↗
← N 76.226907°
W 87.187500°		 ← 2 326.73 m → N 76.226907°
W 87.099609°		 →
↑
2 328.47 m
↓
↑
2 328.47 m
↓
N 76.205967°
W 87.187500°		 ← 2 330.20 m →
5 421 760 m²		 N 76.205967°
W 87.099609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2579345703125 y=0.1636962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2579345703125 × 212)
    floor (0.2579345703125 × 4096)
    floor (1056.5)     		tx = 1056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1636962890625 × 212)
    floor (0.1636962890625 × 4096)
    floor (670.5)     		ty = 670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1056 / 670 ti = "12/1056/670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1056/670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1056 ÷ 212
    1056 ÷ 4096     		x = 0.2578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 670 ÷ 212
    670 ÷ 4096     		y = 0.16357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2578125 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16357421875 × 2 - 1) × π
    0.6728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.113825525646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52170894} λ = -1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.113825525646))-π/2
    2×atan(8.27985557527988)-π/2
    2×1.45060341981756-π/2
    2.90120683963511-1.57079632675     		φ = 1.33041051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33041051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.226907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1056 KachelY 670 -1.52170894 1.33041051 -87.187500 76.226907
    Oben rechts KachelX + 1 1057 KachelY 670 -1.52017496 1.33041051 -87.099609 76.226907
    Unten links KachelX 1056 KachelY + 1 671 -1.52170894 1.33004503 -87.187500 76.205967
    Unten rechts KachelX + 1 1057 KachelY + 1 671 -1.52017496 1.33004503 -87.099609 76.205967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33041051-1.33004503) × R
    0.00036548000000014 × 6371000     		dl = 2328.47308000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33041051-1.33004503) × R
    0.00036548000000014 × 6371000     		dr = 2328.47308000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52170894--1.52017496) × cos(1.33041051) × R
    0.00153397999999982 × 0.238077367230491 × 6371000     		do = 2326.72691494506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52170894--1.52017496) × cos(1.33004503) × R
    0.00153397999999982 × 0.238432322380501 × 6371000     		du = 2330.1958868626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33041051)-sin(1.33004503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238077367230491-0.238432322380501)×R²
    abs(-1.52017496--1.52170894)×0.000354955150009717×R²
    0.00153397999999982×0.000354955150009717×6371000²
    0.00153397999999982×0.000354955150009717×40589641000000     		ar = 5421759.75017597m²