Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105599 / 44670
↖ ↑ ↗
← N 49.614269°
E110.036316°		 ← 197.89 m → N 49.614269°
E110.039063°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
N 49.612489°
E110.036316°		 ← 197.90 m →
39 161 m²		 N 49.612489°
E110.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805660247802734 y=0.340808868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805660247802734 × 217)
    floor (0.805660247802734 × 131072)
    floor (105599.5)     		tx = 105599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340808868408203 × 217)
    floor (0.340808868408203 × 131072)
    floor (44670.5)     		ty = 44670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105599 / 44670 ti = "17/105599/44670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105599/44670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105599 ÷ 217
    105599 ÷ 131072     		x = 0.805656433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44670 ÷ 217
    44670 ÷ 131072     		y = 0.340805053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805656433105469 × 2 - 1) × π
    0.611312866210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.92049601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340805053710938 × 2 - 1) × π
    0.318389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00025134747209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92049601} λ = 1.92049601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00025134747209))-π/2
    2×atan(2.71896514759673)-π/2
    2×1.218364340624-π/2
    2.43672868124801-1.57079632675     		φ = 0.86593235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92049601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86593235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.614269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105599 KachelY 44670 1.92049601 0.86593235 110.036316 49.614269
    Oben rechts KachelX + 1 105600 KachelY 44670 1.92054395 0.86593235 110.039063 49.614269
    Unten links KachelX 105599 KachelY + 1 44671 1.92049601 0.86590129 110.036316 49.612489
    Unten rechts KachelX + 1 105600 KachelY + 1 44671 1.92054395 0.86590129 110.039063 49.612489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86593235-0.86590129) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86593235-0.86590129) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92049601-1.92054395) × cos(0.86593235) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.64793022669655 × 6371000     		do = 197.894568957948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92049601-1.92054395) × cos(0.86590129) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.647953884776454 × 6371000     		du = 197.90179474451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86593235)-sin(0.86590129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64793022669655-0.647953884776454)×R²
    abs(1.92054395-1.92049601)×2.36580799038988e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.36580799038988e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.36580799038988e-05×40589641000000     		ar = 39160.7373760361m²