Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105590 / 96999
↖ ↑ ↗
← S 65.043174°
E110.011597°		 ← 128.84 m → S 65.043174°
E110.014343°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.044333°
E110.011597°		 ← 128.84 m →
16 606 m²		 S 65.044333°
E110.014343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805591583251953 y=0.740047454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805591583251953 × 217)
    floor (0.805591583251953 × 131072)
    floor (105590.5)     		tx = 105590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740047454833984 × 217)
    floor (0.740047454833984 × 131072)
    floor (96999.5)     		ty = 96999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105590 / 96999 ti = "17/105590/96999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105590/96999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105590 ÷ 217
    105590 ÷ 131072     		x = 0.805587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96999 ÷ 217
    96999 ÷ 131072     		y = 0.740043640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805587768554688 × 2 - 1) × π
    0.611175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92006458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740043640136719 × 2 - 1) × π
    -0.480087280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50823867274583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92006458} λ = 1.92006458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50823867274583))-π/2
    2×atan(0.221299415587152)-π/2
    2×0.217789393780028-π/2
    0.435578787560056-1.57079632675     		φ = -1.13521754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92006458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13521754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.043174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105590 KachelY 96999 1.92006458 -1.13521754 110.011597 -65.043174
    Oben rechts KachelX + 1 105591 KachelY 96999 1.92011251 -1.13521754 110.014343 -65.043174
    Unten links KachelX 105590 KachelY + 1 97000 1.92006458 -1.13523777 110.011597 -65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 105591 KachelY + 1 97000 1.92011251 -1.13523777 110.014343 -65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13521754--1.13523777) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13521754--1.13523777) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92006458-1.92011251) × cos(-1.13521754) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421935215157504 × 6371000     		do = 128.842993829061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92006458-1.92011251) × cos(-1.13523777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 128.837393144376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13521754)-sin(-1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421935215157504-0.421916874027517)×R²
    abs(1.92011251-1.92006458)×1.83411299869429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83411299869429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83411299869429e-05×40589641000000     		ar = 16605.6108555115m²