Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105588 / 97140
↖ ↑ ↗
← S 65.206076°
E110.006103°		 ← 128.08 m → S 65.206076°
E110.008850°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
S 65.207228°
E110.006103°		 ← 128.08 m →
16 401 m²		 S 65.207228°
E110.008850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805576324462891 y=0.741123199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805576324462891 × 217)
    floor (0.805576324462891 × 131072)
    floor (105588.5)     		tx = 105588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741123199462891 × 217)
    floor (0.741123199462891 × 131072)
    floor (97140.5)     		ty = 97140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105588 / 97140 ti = "17/105588/97140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105588/97140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105588 ÷ 217
    105588 ÷ 131072     		x = 0.805572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97140 ÷ 217
    97140 ÷ 131072     		y = 0.741119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805572509765625 × 2 - 1) × π
    0.61114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91996870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.48223876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51499777559225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91996870} λ = 1.91996870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51499777559225))-π/2
    2×atan(0.219808673791334)-π/2
    2×0.216367804128775-π/2
    0.43273560825755-1.57079632675     		φ = -1.13806072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91996870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.006103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13806072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.206076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105588 KachelY 97140 1.91996870 -1.13806072 110.006103 -65.206076
    Oben rechts KachelX + 1 105589 KachelY 97140 1.92001664 -1.13806072 110.008850 -65.206076
    Unten links KachelX 105588 KachelY + 1 97141 1.91996870 -1.13808082 110.006103 -65.207228
    Unten rechts KachelX + 1 105589 KachelY + 1 97141 1.92001664 -1.13808082 110.008850 -65.207228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13806072--1.13808082) × R
    2.01000000001894e-05 × 6371000     		dl = 128.057100001207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13806072--1.13808082) × R
    2.01000000001894e-05 × 6371000     		dr = 128.057100001207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91996870-1.92001664) × cos(-1.13806072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419355812374319 × 6371000     		do = 128.082059317644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91996870-1.92001664) × cos(-1.13808082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419337565068306 × 6371000     		du = 128.076486120701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13806072)-sin(-1.13808082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419355812374319-0.419337565068306)×R²
    abs(1.92001664-1.91996870)×1.82473060136301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82473060136301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82473060136301e-05×40589641000000     		ar = 16401.4602352205m²