Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105584 / 96977
↖ ↑ ↗
← S 65.017666°
E109.995117°		 ← 128.97 m → S 65.017666°
E109.997864°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.018826°
E109.995117°		 ← 128.96 m →
16 630 m²		 S 65.018826°
E109.997864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805545806884766 y=0.739879608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805545806884766 × 217)
    floor (0.805545806884766 × 131072)
    floor (105584.5)     		tx = 105584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739879608154297 × 217)
    floor (0.739879608154297 × 131072)
    floor (96977.5)     		ty = 96977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105584 / 96977 ti = "17/105584/96977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105584/96977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105584 ÷ 217
    105584 ÷ 131072     		x = 0.8055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96977 ÷ 217
    96977 ÷ 131072     		y = 0.739875793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8055419921875 × 2 - 1) × π
    0.611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91977696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739875793457031 × 2 - 1) × π
    -0.479751586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50718406095419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91977696} λ = 1.91977696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50718406095419))-π/2
    2×atan(0.221532923668859)-π/2
    2×0.218011989098667-π/2
    0.436023978197334-1.57079632675     		φ = -1.13477235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91977696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13477235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.017666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105584 KachelY 96977 1.91977696 -1.13477235 109.995117 -65.017666
    Oben rechts KachelX + 1 105585 KachelY 96977 1.91982489 -1.13477235 109.997864 -65.017666
    Unten links KachelX 105584 KachelY + 1 96978 1.91977696 -1.13479259 109.995117 -65.018826
    Unten rechts KachelX + 1 105585 KachelY + 1 96978 1.91982489 -1.13479259 109.997864 -65.018826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13477235--1.13479259) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13477235--1.13479259) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91977696-1.91982489) × cos(-1.13477235) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.422338794153286 × 6371000     		do = 128.966231529881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91977696-1.91982489) × cos(-1.13479259) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		du = 128.960629238167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13477235)-sin(-1.13479259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422338794153286-0.422320447760598)×R²
    abs(1.91982489-1.91977696)×1.83463926877736e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83463926877736e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83463926877736e-05×40589641000000     		ar = 16629.7105437571m²