Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105579 / 97149
↖ ↑ ↗
← S 65.216440°
E109.981384°		 ← 128.03 m → S 65.216440°
E109.984131°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.217591°
E109.981384°		 ← 128.03 m →
16 387 m²		 S 65.217591°
E109.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805507659912109 y=0.741191864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805507659912109 × 217)
    floor (0.805507659912109 × 131072)
    floor (105579.5)     		tx = 105579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741191864013672 × 217)
    floor (0.741191864013672 × 131072)
    floor (97149.5)     		ty = 97149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105579 / 97149 ti = "17/105579/97149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105579/97149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105579 ÷ 217
    105579 ÷ 131072     		x = 0.805503845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97149 ÷ 217
    97149 ÷ 131072     		y = 0.741188049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805503845214844 × 2 - 1) × π
    0.611007690429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.91953727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741188049316406 × 2 - 1) × π
    -0.482376098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.51542920768884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91953727} λ = 1.91953727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51542920768884))-π/2
    2×atan(0.219713861728308)-π/2
    2×0.216277360063286-π/2
    0.432554720126572-1.57079632675     		φ = -1.13824161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91953727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.981384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13824161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.216440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105579 KachelY 97149 1.91953727 -1.13824161 109.981384 -65.216440
    Oben rechts KachelX + 1 105580 KachelY 97149 1.91958521 -1.13824161 109.984131 -65.216440
    Unten links KachelX 105579 KachelY + 1 97150 1.91953727 -1.13826170 109.981384 -65.217591
    Unten rechts KachelX + 1 105580 KachelY + 1 97150 1.91958521 -1.13826170 109.984131 -65.217591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13824161--1.13826170) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13824161--1.13826170) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91953727-1.91958521) × cos(-1.13824161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419191589600799 × 6371000     		do = 128.031901455516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91953727-1.91958521) × cos(-1.13826170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		du = 128.026330565963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13824161)-sin(-1.13826170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419191589600799-0.419173349849449)×R²
    abs(1.91958521-1.91953727)×1.82397513507349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82397513507349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82397513507349e-05×40589641000000     		ar = 16386.8805776147m²