Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105578 / 97042
↖ ↑ ↗
← S 65.092959°
E109.978637°		 ← 128.63 m → S 65.092959°
E109.981384°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.094116°
E109.978637°		 ← 128.62 m →
16 537 m²		 S 65.094116°
E109.981384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805500030517578 y=0.740375518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805500030517578 × 217)
    floor (0.805500030517578 × 131072)
    floor (105578.5)     		tx = 105578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740375518798828 × 217)
    floor (0.740375518798828 × 131072)
    floor (97042.5)     		ty = 97042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105578 / 97042 ti = "17/105578/97042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105578/97042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105578 ÷ 217
    105578 ÷ 131072     		x = 0.805496215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97042 ÷ 217
    97042 ÷ 131072     		y = 0.740371704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805496215820312 × 2 - 1) × π
    0.610992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91948933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740371704101562 × 2 - 1) × π
    -0.480743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51029995942949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91948933} λ = 1.91948933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51029995942949))-π/2
    2×atan(0.220843723865688)-π/2
    2×0.217354935201904-π/2
    0.434709870403809-1.57079632675     		φ = -1.13608646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91948933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.978637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13608646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.092959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105578 KachelY 97042 1.91948933 -1.13608646 109.978637 -65.092959
    Oben rechts KachelX + 1 105579 KachelY 97042 1.91953727 -1.13608646 109.981384 -65.092959
    Unten links KachelX 105578 KachelY + 1 97043 1.91948933 -1.13610664 109.978637 -65.094116
    Unten rechts KachelX + 1 105579 KachelY + 1 97043 1.91953727 -1.13610664 109.981384 -65.094116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13608646--1.13610664) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13608646--1.13610664) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91948933-1.91953727) × cos(-1.13608646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421147270521765 × 6371000     		do = 128.629216748006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91948933-1.91953727) × cos(-1.13610664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42112896733202 × 6371000     		du = 128.623626482734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13608646)-sin(-1.13610664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421147270521765-0.42112896733202)×R²
    abs(1.91953727-1.91948933)×1.83031897451613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83031897451613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83031897451613e-05×40589641000000     		ar = 16537.0848506595m²