Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105570 / 52194
↖ ↑ ↗
← N 34.375179°
E109.956665°		 ← 252.09 m → N 34.375179°
E109.959412°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
N 34.372912°
E109.956665°		 ← 252.09 m →
63 536 m²		 N 34.372912°
E109.959412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805438995361328 y=0.398212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805438995361328 × 217)
    floor (0.805438995361328 × 131072)
    floor (105570.5)     		tx = 105570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398212432861328 × 217)
    floor (0.398212432861328 × 131072)
    floor (52194.5)     		ty = 52194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105570 / 52194 ti = "17/105570/52194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105570/52194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105570 ÷ 217
    105570 ÷ 131072     		x = 0.805435180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52194 ÷ 217
    52194 ÷ 131072     		y = 0.398208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805435180664062 × 2 - 1) × π
    0.610870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91910584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398208618164062 × 2 - 1) × π
    0.203582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.639574114730789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91910584} λ = 1.91910584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639574114730789))-π/2
    2×atan(1.89567336800091)-π/2
    2×1.08537818955821-π/2
    2.17075637911641-1.57079632675     		φ = 0.59996005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91910584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.956665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59996005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.375179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105570 KachelY 52194 1.91910584 0.59996005 109.956665 34.375179
    Oben rechts KachelX + 1 105571 KachelY 52194 1.91915378 0.59996005 109.959412 34.375179
    Unten links KachelX 105570 KachelY + 1 52195 1.91910584 0.59992049 109.956665 34.372912
    Unten rechts KachelX + 1 105571 KachelY + 1 52195 1.91915378 0.59992049 109.959412 34.372912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59996005-0.59992049) × R
    3.95599999999385e-05 × 6371000     		dl = 252.036759999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59996005-0.59992049) × R
    3.95599999999385e-05 × 6371000     		dr = 252.036759999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91910584-1.91915378) × cos(0.59996005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825358171717866 × 6371000     		do = 252.085630361811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91910584-1.91915378) × cos(0.59992049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.825380507023871 × 6371000     		du = 252.092452139176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59996005)-sin(0.59992049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825358171717866-0.825380507023871)×R²
    abs(1.91915378-1.91910584)×2.23353060051501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23353060051501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23353060051501e-05×40589641000000     		ar = 63535.7051964104m²