Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105569 / 97199
↖ ↑ ↗
← S 65.273945°
E109.953918°		 ← 127.75 m → S 65.273945°
E109.956665°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
S 65.275093°
E109.953918°		 ← 127.75 m →
16 319 m²		 S 65.275093°
E109.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805431365966797 y=0.741573333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805431365966797 × 217)
    floor (0.805431365966797 × 131072)
    floor (105569.5)     		tx = 105569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741573333740234 × 217)
    floor (0.741573333740234 × 131072)
    floor (97199.5)     		ty = 97199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105569 / 97199 ti = "17/105569/97199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105569/97199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105569 ÷ 217
    105569 ÷ 131072     		x = 0.805427551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97199 ÷ 217
    97199 ÷ 131072     		y = 0.741569519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805427551269531 × 2 - 1) × π
    0.610855102539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91905790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741569519042969 × 2 - 1) × π
    -0.483139038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51782605266984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91905790} λ = 1.91905790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51782605266984))-π/2
    2×atan(0.219187872270975)-π/2
    2×0.215775537718628-π/2
    0.431551075437257-1.57079632675     		φ = -1.13924525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91905790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.953918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13924525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.273945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105569 KachelY 97199 1.91905790 -1.13924525 109.953918 -65.273945
    Oben rechts KachelX + 1 105570 KachelY 97199 1.91910584 -1.13924525 109.956665 -65.273945
    Unten links KachelX 105569 KachelY + 1 97200 1.91905790 -1.13926530 109.953918 -65.275093
    Unten rechts KachelX + 1 105570 KachelY + 1 97200 1.91910584 -1.13926530 109.956665 -65.275093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13924525--1.13926530) × R
    2.00499999998272e-05 × 6371000     		dl = 127.738549998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13924525--1.13926530) × R
    2.00499999998272e-05 × 6371000     		dr = 127.738549998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91905790-1.91910584) × cos(-1.13924525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418280176083602 × 6371000     		do = 127.753532307581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91905790-1.91910584) × cos(-1.13926530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418261964222467 × 6371000     		du = 127.747969936417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13924525)-sin(-1.13926530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418280176083602-0.418261964222467)×R²
    abs(1.91910584-1.91905790)×1.82118611342097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82118611342097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82118611342097e-05×40589641000000     		ar = 16318.695710208m²